Bestimmen Sie den Berührpunkt der Tangente vom Punkt P(0│–12) an das Schaubild von f(x)=4x^3+6

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Berührpunkt der Tangente vom Punkt P(0│–12) an das Schaubild von f(x)=4x^3+6

Problem/Ansatz:

ich habs versucht mit einem zweiten punkt zu rechnen P(u|u^3+6) aber ohne erfolg

Comments

Alternativer Ansatz: Die Tangente hat die Funktionsgleichung t(x) = m·x - 12 mit einer gewissen Steigung m. Nun soll gelten f(u) = t(u) und f'(u) = t'(u) an einer Stelle u. Löse das Gleichungssystem und erhalte u = ½·∛18 ≈ 1,31.

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Sieht dann etwa so aus:
~plot~ 4x^3+6;{0|-12};[[-3|3|-80|40]];{1,31|15};20.6*x-12 ~plot~

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Vielen dank, damit sollte es klappen

Answer 1

Text erkannt:

Bestimmen Sie den Berührpunkt der Tangente vom Punkt \( \mathrm{P}(0 \mid-12) \) an das Schaubild von \( f(x)=4 x^{3}+6 \)
\( f^{-}(x)=12 x^{2} \)
Berührpunkt sei \( B\left(u \mid 4 u^{3}+6\right) \)
\( f^{\prime}(u)=12 u^{2} \)
\( \frac{4 u^{3}+6}{u}=12 u^{2} \)
\( 4 u^{3}+6=12 u^{3} \)
\( 8 u^{3}=6 \)
\( u^{3}=\frac{3}{4} \rightarrow \rightarrow 4 \cdot \frac{3}{4}+6=9 \)
\( u=\sqrt[3]{\frac{3}{4}} \approx 0,91 \)
\( B\left(3 \sqrt{\frac{3}{4}} \mid 9\right) \rightarrow B(\approx 0,91 \mid 9) \)

Comments

Der Ansatz$$\frac{4u^3+6}{u} = 12u^2$$ist falsch. Das Ergebnis passt auch nicht, wie man hier sieht:

~plot~ 4x^3+6;{0|-12};[[-6|6|-15|15]];{0.91|9};21/0.91*x-12 ~plot~

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Oh mann ist mir auch gerade erst aufgefallen. Mit y/x erhält man ja nicht die Steigung der Gerade, ist mir gar nicht aufgefallen...

Kann es sein, dass man mit der Tangentengleichung arbeiten muss?

Hab gerade den Kommentar von Arsinoë gelesen und so sollte es dann klappen.

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Bestimmen Sie den Berührpunkt der Tangente vom Punkt \( \mathrm{P}(0 \mid-12) \) an das Schaubild von \( f(x)=4 x^{3}+6 \)

Jetzt aber richtig: ( Ich bin durcheinander gekommen, weil eine 12 in der Ableitung und auch in P(0|-12) waren)

\( f(x)=4 x^{3}+6 \)

\( f(u)=4 u^{3}+6 \)
f´(x)=12x^2

f´(u)=12u^2

P(0|-12)

(4 u^3+6 +12) / u =12u^2

 4 u^3+18=12u^3

8u^3=18

u^3=\( \frac{18}{8} \)=\( \frac{9}{4} \)=2,25

u=\( \sqrt[3]{2,25} \)

f(\( \sqrt[3]{2,25} \) ) =4*2,25+6=15