Bild mithilfe der pq-Formel berechnen

Question

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Mathematik für die Informatik A, WS 2020/2021 \( \quad \) Übungsklausur mit Lösungen
Aufgabe (Funktionen) Seien \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; x \mapsto x^{2}+2 x-3 \) und \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; x \mapsto x^{2}-1 . \) Berechnen Sie die
Funktion \( g \circ f \) und die drei Mengen \( \operatorname{Bild}(f), f\left(\mathbb{R}_{\geq 0}\right) \) und \( f^{-1}\left(\mathbb{R}_{\geq 0}\right) \).
Es ist wieder \( g \circ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und für jedes \( x \in \mathbb{R} \) gilt
$$ g \circ f(x)=g(f(x))=\left(x^{2}+2 x-3\right)^{2}-1=x^{4}+4 x^{3}-2 x^{2}-12 x+8 $$
Das Bild von \( f \) besteht aus allen \( y \in \mathbb{R} \) für die die Gleichung \( x^{2}+2 x-3=y \) lösbar ist und nach der pq-Formed bedeutet dies, dass \( 4+4(3+y)=4(4+y) \geq 0 \) gilt, also
\( \operatorname{Bild}(f)=\{y \in \mathbb{R} \mid y \geq-4\}=[-4, \infty) \)

Kann mir jemand bitte erklären wie man mithilfe der pq-Formel auf das unten stehende Konstrukt mit dem 4+4(3+y) kommt?

Answer 1

Die Gleichung x^2 + 2x - 3 = y

<=>    x^2 + 2x - 3 - y  = 0 ergäbe mit derpq-Formel

 x = -1 ±√ ( 1 +3+y) = -1 ±√ ( 4+y)

Das ist aber nur lösbar, wenn 4+y ≥ 0 ;

Und das heißt ja   y  ≥  -4

denn Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es hier ja nicht.

Die zusätzliche 4 in der Lösung kommt wohl durch

eine andere Formulierung der pq-Formel.

Wird dann oft auch abc-Formel genannt.

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Danke lieber mathef!