Grenzwert einer Reihe berechnen: ∑(von n=1 bis ∞) = 1/(4n^2-1)

Question

Wie zeige ich, dass die Reihe ∑(von n=1 bis ∞) = 1/(4n²-1) konvergiert und wo ihr Grenzwert liegt?

Als Hinweis bekamen wir: Sei können zum Beispiel die ersten 5 Partialsummen bestimmen uns daraus eine Vermutung für eine explizite Formel für die Partialsumme ableiten. Diese Formel müssen sie dann mit vollständiger Induktion herleiten.

Comments

Dann befolge mal euren Tipp.
Vielleicht läuft deine Aufgabe auf eine Teleskopsumme raus, da
1/(4n^2 - 1) = 1/((2n+1)(2n-1)) könntest du das umschreiben auf
1/(4n^2 -1) = A/(2n+1) + B/(2n-1)

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Wie man so eine reihe berechnet ,wird bei www.MathematikGrenzwerteBerechnen.ao.ei.com sehr schoen erklert.                                   

 

ach, uebrigens: wenn etwas schief gehehen kann, dann geht's schief...

Answer 1

Befolge den Tipp und berechne die ersten 5 Partialsummen s₁ bis s₅:

s₁ = 1 / 3

s₂ = s₁ + ( 1 / 15 ) = ( 1 / 3 ) + ( 1 / 15 ) = 6 / 15 = 2 / 5

s₃ = s₂ + ( 1 / 35 ) = ( 2 / 5 ) + ( 1 / 35 ) = 15 / 35 = 3 / 7

s₄ = s₃ + ( 1 / 63 ) = ( 3 / 7 ) + ( 1 / 63 ) = 28 / 63 = 4 / 9

Nun, da vermute ich mal, dass s₅ = 5 / 11 ist ...

s₅ = s₄ + ( 1 / 99 )  = ( 4 / 9 ) + ( 1 / 99 )  = 45 / 99 = 5 / 11

Scheint also zu stimmen. Allgemein scheint also für die n-te Partialsumme s_n zu gelten:

s_n = n / ( 2 n + 1 )

Beweis durch VI:

Induktionsanker:

Für n = 1 gilt: s₁ = 1 / ( 4 * 1 ² - 1 ) = 1 / 3 = 1 / ( 2 * 1 + 1 )

Induktionsvoraussetzung:

Für ein festes n gelte:

s_n = n / ( 2 n + 1 )

Induktionsbehauptung:

Dann gilt für n + 1:

s_n+1 = ( n + 1 ) / ( 2 ( n + 1 ) + 1 ) = ( n + 1 ) / ( 2 n + 3 )

Induktionsschritt:

$${ s }_{ n+1 }={ s }_{ n }+\frac { 1 }{ 4({ n+1) }^{ 2 }-1 }$$Induktionsvoraussetzung benutzen:$$=\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ 4({ n+1) }^{ 2 }-1 }$$$$=\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ 4n^{ 2 }+8n+3 }$$$$=\frac { n }{ 2n+1 } +\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { n(2n+3) }{ (2n+1)(2n+3) } +\frac { 1 }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { 2{ n }^{ 2 }+3n+1 }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { (2n+1)(n+1) }{ (2n+1)(2n+3) }$$$$=\frac { (n+1) }{ (2n+3) }$$

q.e.d.

Also ist gezeigt, dass die explizite Formel für die n-te Partialsumme s_n  der in der Aufgabenstellung genannten Reihe lautet:

s_n = n / ( 2 n + 1 )

Der Grenzwert G dieser Reihe ist daher:

G = lim_n->∞ s_n

= lim_n->∞ n / ( 2 n + 1 )

= lim_n->∞ 1 / ( 2 n / n + 1 / n  )

= 1 / ( 2 + 0 )

= 1 / 2