Aloha :)
Ich würde hier einfach stur der Aufgebanestellung folgen. Es ist nach der größten Temperaturdifferenz gefragt, also bilden wir zuerst die Temperaturdifferenz:$$d(t)=f(t)-g(t)=6t\cdot e^{\frac{1}{2}(2-t)}-12\cdot e^{\frac{1}{2}(2-t)}=6e^{1-\frac{t}{2}}\cdot(t-2)$$Den Extremwert der Differenz \(d(t)\) finden wir dort, wo die Ableitung verschwindet:
$$0\stackrel!=d'(t)=\left(\underbrace{6e^{1-\frac{t}{2}}}_{=u}\cdot\underbrace{(t-2)}_{=v}\right)'=\underbrace{\overbrace{6e^{1-\frac{t}{2}}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot\underbrace{(t-2)}_{=v}+\underbrace{6e^{1-\frac{t}{2}}}_{=u}\cdot\underbrace{1}_{=v'}$$$$0=6e^{1-\frac{t}{2}}\left(-\frac{t-2}{2}+1\right)=6e^{1-\frac{t}{2}}\left(\frac{-t+2}{2}+\frac{2}{2}\right)=3e^{1-\frac{t}{2}}\left(4-t\right)$$Da die \(e\)-Funktion immer positiv ist, kann nur die Klammer null werden, also liegt die größte Differenz bei \(t=4\) vor. Insbesondere beträgt die maximale Temperaturdifferenz \(d(4)=\frac{12}{e}\).
