Zeigen Sie, dass fuer alle Kubischen Polynome die Simpsonregel exakt ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fuer alle Kubischen Polynome die Simpsonregel exakt ist.

\( \int\limits_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6}\cdot (P(a) + 4\cdot P(\frac{a+b}{2} ) + P(b))\).

Wir wissen, dass es fuer alle Quadratischen Polynome exakt ist

Problem/Ansatz:

Ich habe gezeigt, dass die Regel fuer das Polynom x^3 exakt ist und wollte dann zeigen, dass jedes Polynom 3. Grades einfach nur aus c*x^3 + P_2(x) besteht mit P_2(x) Polynom 2. Grades.

Wie wir wissen ist fuer P_2(X) die Simpsonregel exakt und fuer das Polynom c*x^3 auch. Damit muss doch das Integral von einem Polynom 3. Grades = Integral von c * x^3 plus das Integral des Polynoms 2. Grades sein und damit 2 mal die Simpsonregel. Damit haette ich dann aber \( \frac{b-a}{3} \) (P(a) + 4*P(\( \frac{a+b}{2} \) ) + P(b)) und somit keinen richtigen Wert.

Wo genau ist da mein Logikfehler?

Answer 1

Hallo, du kannst doch einfach mal vergleichen, indem du ein beliebiges kubsiches Polynom der Form \(p_3(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\) über \([a,b]\) integrierst, also

$$ \int_a^b p_3(x)\ dx=\left[a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\frac{a_3}{4}x^4\right ]_a^b $$

und die rechte Seite ausrechnest und dann ebenso

\(\frac{b-a}{6}\cdot \left(p_3(a)+4p_3\left(\frac{a+b}{2}\right)+p_3(b)\right)\)

ausrechnest und mit dem obigen vergleichst.

Comments

Hatte ich am Anfang so gemacht aber habe eine elegantere Lösung gesucht.

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Ja, da hast du recht. Es wäre zunächst eine ,,Notlösung'', wenn man nicht auf dem Schirm hat, dass quadratische Polynome über Simpson exakt sind. (*)

Aber man muss es dann zumindest noch beim kubischen für den Spezialfall \(\tilde{p_3}(x)=a_3\cdot x^3\) nachrechnen. (**)

Dann kannst du dir ein beliebieges kubisches Polynom hindefinieren mit

\(p_3(x):=\underbrace{a_0+a_1x+a_2x^2}_{=:p_2(x)}+\underbrace{a_3x^3}_{=:\tilde{p_3}(x)}\). Mit dieser Konstruktion hat man dann bereits

\(\int_a^b p_3(x) \ dx = \int_a^b (p_2(x)+\tilde{p_3}(x))\ dx\\=\int_a^b p_2(x) \ dx + \int_a^b \tilde{p_3}(x) \ dx\\\stackrel{(*),(**)}{=}\Bigg(\frac{b-a}{6}\cdot \Big(p_2(a) + 4\cdot p_2(\frac{a+b}{2} ) + p_2(b)\Big)\Bigg)\\+\Bigg(\frac{b-a}{6}\cdot \Big(\tilde{p_3}(a)+4\cdot \tilde{p_3}\left(\frac{a+b}{2}\right)+\tilde{p_3}(b)\Big)\Bigg)\\=\frac{b-a}{6}\Bigg(p_3(a)+4\cdot p_3\left(\frac{a+b}{2}\right)+p_3(b)\Bigg)\).

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Ah ja ich verstehe jetzt wo mein Denkfehler war. Vielen dank.