Wenn f(x)=2x*e^(-0,5x+1)ist dann f'(x)=e^(0,5x+1)*(2-x)?

Question

Aufgabe: Wenn f(x)= 2x *e^(-0,5x+1) ist,
Ist dann f'(x)=(2-x)*e^(-0,5*x+1) ?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

Du musst hier beim Ableiten die Produktregel und die Kettenregel anwenden:

$$f'(x)=\left(\underbrace{2x}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x+1}}_{=v}\right)'=\underbrace{2}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{2}x+1}}_{=v}+\underbrace{2x}_{=u}\cdot \underbrace{\overbrace{e^{-\frac{1}{2}x+1}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{=\text{innere}}}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=2\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}-x\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}=(2-x)\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}\quad\checkmark$$Ich kann dein Ergebnis daher bestätigen.

Comments

Und für f"(x) wäre dann jetzt nur noch die Kettenregel notwendig ?

---

Nicht ganz, du hast ja immer noch ein Produkt. Du brauchst auch für \(f''(x)\) wieder die Produkt- und die Kettenregel.

$$f''(x)=(-1)\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}+(2-x)\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$$$$f''(x)=-e^{-\frac{1}{2}x+1}-\left(1-\frac{x}{2}\right)\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}$$$$f''(x)=-2e^{-\frac{1}{2}x+1}+\frac{x}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x+1}$$$$f''(x)=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}x+1}\left(x-4\right)$$

---

Mut den neuen Regeln komme ich auf f''(x)=0,5x*e^(-0,5+1)

---

Nicht ganz, dir ist ein Term abhanden gekommen, vermutlich derjenige aus der Produktregel... Ich habe die Rechnung im vorigen Kommentar durchgeführt.

---

Ja es war der fehlende Produktterm. Jetzt hat es klick gemacht , der mehr als ausführlichen Erklärung geschuldet. Vielen Dank Herr Tschakabumba Dank ihnen mach ich gleich sehr gut ulubambulu