Rechenregeln für bestimmte Integrale

Question

Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke möglichst einfach durch Anwendung der Rechenregeln.
a) \( \int _ { - 2 } ^ { 3 } \left( 4 x ^ { 2 } - 3 x + 5 \right) d x + \int _ { - 2 } ^ { 3 } ( 3 x - 5 ) d x \)

b) \( \int _ { - 2 } ^ { 2 } x ^ { 2 } d x + \int _ { 3 } ^ { 5 } x ^ { 2 } d x + \int _ { 2 } ^ { 3 } x ^ { 2 } d x \)

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Answer 1

Aloha :)

Bei (a) sind die Integrationsgrenzen der beiden Integrale gleich, sodass du die Integranden "verschmelzen" bzw. zusammenfassen kannst.$$I_a=\int\limits_{-2}^3(4x^2-3x+5)\,dx+\int\limits_{-2}^3(3x-5)\,dx=\int\limits_{-2}^3\left(\,(4x^2-3x+5)+(3x-5)\,\right)\,dx$$$$\phantom{I_a}=\int\limits_{-2}^34x^2\,dx=\left[4\,\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^3=4\left(\frac{27}{3}-\frac{-8}{3}\right)=4\cdot\frac{35}{3}=\frac{140}{3}$$

Bei (b) sind die Integranden gleich und die Integrationsintevalle folgen aufeinander, sodass du Integrationsgrenzen "verschmelzen" bzw. zusammenfassen kannst.$$I_b=\int\limits_{-2}^2x^2\,dx+\int\limits_3^5x^2\,dx+\int\limits_2^3x^2\,dx=\int\limits_{-2}^2x^2\,dx+\int\limits_2^3x^2\,dx+\int\limits_3^5x^2\,dx$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_{-2}^3x^2\,dx+\int\limits_3^5x^2\,dx=\int\limits_{-2}^5x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-2}^5=\frac{125}{3}-\frac{-8}{3}=\frac{133}{3}$$

Answer 2

Rechenregeln für Integrale sind

• Summenregel

  \(\int\limits_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x +\int\limits_{a}^{b} g(x)\mathrm{d}x= \int\limits_{a}^{b} (f(x)+g(x))\mathrm{d}x\)

• Faktorregel

  \(\int\limits_{a}^{b}c\cdot f(x)\mathrm{d}x = c\cdot\int\limits_{a}^{b} f(x)\mathrm{d}x\)

• Additivität von Integralen

  \(\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x + \int\limits_{b}^{c}f(x)\mathrm{d}x = \int\limits_{a}^{c}f(x)\mathrm{d}x\)

• \(\int\limits_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x = -\int\limits_{b}^{a}f(x)\mathrm{d}x\)

Comments

Also welches für a und welches für b weil da sind jetzt 3 von dir

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Bei a) werden zwei Integrale mit gleichen Integrationsgrenzen addiert. In welcher meiner Regeln werden zwei Integrale mit gleichen Integrationsgrenzen addiert?

Bei b) werden Integrale mit gleichem Integranden addiert. In welcher meiner Regeln werden Integrale mit gleichen Integrationsgrenzen addiert?