Funktionen Stetigkeit Verständnis

Question

Ich habe zwei inhaltliche Verständnisfragen:

1) Angenommen es liegt eine Funktion mit Definitionslücke vor. Also die Definitionsmenge ist für alle reellen Zahlen außer ein x definiert. Dabei handelt es sich bei x um eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Das bedeutet ja, dass die Funktion auch für diesen Punkt stetig fortsetzbar ist.

Jetzt meine Frage: und zwar ist die Funktion nicht schon vor der stetigen Fortsetzung stetig? Weil das x=Definitionslücke gar nicht im Definitionsbereich der Funktion ist und man daher die Frage nach Stetigkeit für x gar nicht stellen kann. Und die stetige Fortsetzung ist nur eine Erweiterung des Definitionsbereiches , ändert aber nichts an der Stetigkeit?

2) Warum sind oszillierende Funktionen nicht stetig?

Vielen Dank für die Hilfe.

Answer 1

Du musst unterscheiden zwischen

- Stetigkeit in R

- Stetigkeit im Definitionsbereich

- Stetigkeit an einer Stelle.

2) Warum sind oszillierende Funktionen nicht stetig?

Eine Funktion heißt stetig an einer Stelle x_0, wenn sie

1) an dieser Stelle definiert ist

2) der Grenzwert bei Annährung an diese Stelle existiert

und

3) dieser Grenzwert mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmt.

An einer Oszillationsstelle ist Bedingung 2) verletzt.

Answer 2

Hallo

bei a) hast du recht, die Funktion ist stetig im Definitionsbereich, meist ist aber gefragt ob sie in irgendeinem Intervall oder in ℝ stetig ist. und dann gibt es eben de 2 Möglichkeiten stetig ergänzter, oder in einem Punkt nicht stetig ergänzter,

b) verstehe ich nicht, sin(x) ist eine (oszillierende) stetige Funktion? sin(1/x) ist bei 0 unstetig, da das Vorzeichen und Wert beliebig oszilliert für x gegen 0, damit gibt es zu kleinen ε kein delta.

wenn du was anderes meinst frag nach .

Gruß lul