-x² y+xy'=-2x², y(2) =4

Question

Lösen Sie das AWP
^{-x². y+x.y'=-2x², y(2) =4
a) als lineare DGL erster Ordnung und
b) als DGL mit getrennten Variablen}

Answer 1

Hallo

erst die homogene Dgl lösen mit Trennung der Variablen, dann partikuläre Lösung raten oder Variation der Konstanten.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

a) via Variation der Konstanten:

1.) homogene Gleichung lösen:

-x^2 y+x y'=-2x^2

-x^2 y+x y'= 0 | x≠0

-x y+ y'= 0 Trennung der Variablen

y'= xy

dy/dx= xy

dy/y= x dx

ln|y|= x^2/2 +C

y_h=C₁ e^(x^2/2)

2.)Setze C₁=C(x)

yp=C(x) e^(x^2/2)

yp'= C'(x)  e^(x^2/2) + C(x) *x *e^(x^2/2)

3.) Einsetzen von yp und yp' in die DGL, und vereinfachen

Bei richtiger Rechnung fällt das C(x) heraus.

C'(x)=(-2x) *e^(-x^2/2)

C(x)= 2 e^(-x^2/2)

4.)yp=C(x) e^(x^2/2) = 2

5.) y=yh+yp

y=C₁ e^(x^2/2) +2

6.)AWB  y(2) =4 einsetzen in die Lösung

y=C₁ e^(x^2/2) +2

4=C₁ e^(2) +2

C₁=2/e^2

7.)Lösung

y=2/e^2  e^(x^2/2) +2 =e^((x^2/2)-2) +2

b) als DGL mit getrennten Variablen:

-x^2 y+x y'=-2x^2

x y'=-2x^2 +x^2 y |:x ≠ 0

y'=-2x +xy

y'=x(-2+y)

dy/dx=x(-2+y)

dy/(y-2)= x dx

y=C₁ e^(x^2/2) +2

y=e^((x^2/2)-2) +2