Bestimmen Sie die Gleichung der *Normalen* an den Graphen von f im Punkt P.

Question

In welchem Punkt schneidet die Tangente an den Graphen von f im Punkt B dir x-Achse?

a) f(x)= 0,5x^2 , B (2|f(2))

b) f(x) = 1/3x^3 + 2x^2  , B (-1|f(-1))

Die Gerade N durch einen Punkt P des Graphen der Funktion f heißt *Normale* im Punkt, wenn sie senkrecht zur Tangente in diesem Punkt steht. Bestimmen Sie die Gleichung der *Normalen* an den Graphen von f im Punkt P.

a) f(x) = 1/4x^4 ; P(1|f(1))

Answer 1

Bestimmen Sie die Gleichung der *Normalen* an den Graphen von f im Punkt P. a) f(x) = 1/4x⁴ ; P(1|f(1))

f(1)=1/4; P(1|1/4).

f '(x)=x³; f '(1)=1

1=\( \frac{y-1/4}{x-1} \) oder y=x-3/4 ist die Tangente.

Dann hat die Normale die Steigung -1:

-1=\( \frac{y-1/4}{x-1} \) oder y=-x+5/4

Answer 2

Text erkannt:

a) \( f(x)=0,5 x^{2}, B(2 \mid f(2)) \)
\( f(2)=0,5 \cdot 2^{2}=2 \)
\( B(2 \mid 2) \)
\( f^{-}(x)=x \)
\( f^{-}(2)=2 \)
Tangente über die Punkt-Steigungsform der Geraden:
\( \frac{y-2}{x-2}=2 \)
\( y=2 x-2 \)
Schnitt mit x-Achse:
\( y=0 \)
\( 2 x-2=0 \)
\( x=1 \)
\( N(1 \mid 0) \)

Text erkannt:

(-) (e) \( \infty \) \begin{tabular}{c|c}
\( a=2 \) & \( + \) \\
\hline
\end{tabular}

Comments

Dankesehr kannst du auch die b noch zeigen?

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Gehe mal schrittweise nach meinem Weg die Lösung von b) an.

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Ich hab da als Nullpunkt -4/3 raus?

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Stimmt leider nicht, da -4/3 ≠ -0,44 ist.

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Kannst du es mir nochmal zeigen? Dann kann ich schauen wo mein Fehler liegt

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Stimmt leider nicht, da -4/3 ≠ -0,44 ist.

Deine Begründungen sind zum Schreien oder zum Weglaufen oder zu beidem.

Auch eine Antwort -0,44 wäre falsch gewesen.

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Kannst du mir helfen?

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Ich hab da als Nullpunkt -4/3 raus?

\(-4/3\) ist der Schnittpunkt der Tangenten \(y=-3x-4/3\) mit der Y-Achse. Der Schnittpunkt der Tangenten mit der X-Achse liegt bei \(x_0=-4/9\)

~plot~ (1/3)*x^3+2x^2;{-1|5/3};-3(x+1)+5/3;{-4/9|0};[[-9|5|-2|8]] ~plot~

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Das ist ja seltsam... gibt es dazu einen Rechenweg

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@abakus und @hellothere 123:

Ich habe die Nullstelle -0,44 der eingefügten Zeichnung entnommen und nicht selbst errechnet . hellothere 123 hat gefragt, ob -4/3 richtig ist und da habe ich geantwortet, dass es falsch ist und da ist ja nun nichts dagegen einzuwenden.

Hier nun mein Rechenweg . Einen weiteren Kommentar in Richtung abakus verkneife ich mir lieber.

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+2 x^{2} \)
\( f(-1)=\frac{1}{3} \cdot(-1)^{3}+2 \cdot(-1)^{2}=\frac{5}{3} \)
\( B\left(-1 \mid \frac{5}{3}\right) \)
\( f^{-}(x)=x^{2}+4 x \)
\( f \cdot(-1)=(-1)^{2}+4 \cdot(-1)=-3 \)
Punktsteigungsform der Geraden (Tangente):
\( \frac{y-\frac{5}{3}}{x+1}=-3 \)
\( y-\frac{5}{3}=-3 x-3 \)
\( y=-3 x-3+\frac{5}{3}=-3 x-\frac{9}{3}+\frac{5}{3} \)
\( y=-3 x-\frac{4}{3} \)
Nullstelle der Tangente:
\( -3 x-\frac{4}{3}=0 \)
\( x=-\frac{4}{9}=-0,4444444444444444 \)

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gibt es dazu einen Rechenweg?

Ja sicher! Die Funktion ist \(f(x)= \frac 13 x^3 + 2x^2\) und ihr Wert und ihre Ableitung bei \(x_b=-1\) ist$$f(-1) = - \frac 13 + 2 = \frac 53 \\ f'(x) = x^2 + 4x \\ f'(-1) = 1 - 4 = {\color{blue}-3}$$Folglich lautet die Tangente \(t\) durch \(B({\color{red}-1}|{\color{green}\frac 53})\) in der Punkt-Steigungsform$$\begin{aligned}t: \quad y &= {\color{blue}-3}(x - ({\color{red}-1})) + {\color{green}\frac 53} \\ &= -3x - \frac 43\end{aligned}$$Und der Schnittpunkt \(x_0\) mit der X-Achse stellt sich ein, wenn das \(y\) zu \(0\) wird - also:$$\begin{aligned}y(x_0) = -3x_0 - \frac 43 &= 0 &&|\, + \frac 43\\ -3x_0 &= \frac 43 &&|\, \div (-3) \\ x_0 &= -\frac 49\end{aligned}$$