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Aufgabe:

gerade quadratische Pyramide, Grundkante 8 cm, Höhe 6 cm

P (0|0|a) = Punkt im Inneren der Pyramide, der von allen Seitenflächen den gleichen Abstand hat

Abstand Punkt P von den Seitenflächen in Abhängigkeit von a?

Welcher der möglichen Punkte hat den Abstand von 2 cm von den Seitenflächen?

Abstand des Koordinatenursprungs von den Seitenflächen?

Welcher der Punkte P hat außer von den Seitenflächen auch noch zur Grundfläche denselben Abstand?


Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?

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2 Antworten

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Hallo Alissa,

Ich habe Dir die Pyramide mal aufgeschnitten im Geoknech3D skizziert:

blob.png

(klick auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren)

Das blaue Dreieck \(\triangle ROS\) ist für die Berechnung von \(a\) relevant. Die Dreiecke \(\triangle ROS\) und \(\triangle PQS\) sind ähnlich. Folglich ist$$\frac{|SP|}{|PQ|} = \frac{|SR|}{|RO|} \implies |SP| = \frac{|SR| \cdot |PQ|}{|RO|}$$Es sind \(|PQ|=2\) und \(|RO|=4\). Und die Strecke \(|SR|\) berechnet sich nach Pythagoras$$|SR|= \sqrt{4^2 +6^2} = 2\sqrt{13}$$Dann ergibt sich$$|SP| = \frac{|SR| \cdot |PQ|}{|RO|} = \frac{ 2\sqrt{13} \cdot 2}{4} = \sqrt{13} \\ \implies a = |OP| = |OS|-|SP| = 6-\sqrt{13} \approx 2,349$$


Abstand des Koordinatenursprungs von den Seitenflächen?

funktioniert auch über die Ähnlichkeit im Dreieck \(\triangle ROS\).


Welcher der Punkte P hat außer von den Seitenflächen auch noch zur Grundfläche denselben Abstand?

Und in diesem Fall wäre \(|PQ|=|PO|\). Nehme die Gleichung für \(|SP|\) (s.o.) und setze \(|SP| + |PQ| = |SO| = 6\). Löse nach \(|PQ|\) auf.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Avatar von 48 k

Vielen Dank. Auch vor allem für den Tipp mit dem Geoknecht 3D! :)

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Hallo

die Punkte der Grundfläche sind offensichtlich : (-4,-4.0) (4,-4,0) (4,4,0) (-4,4,0) Spitze bei (0,0,6)

damit kannst du leicht eine der Seitenflächen  in Hesse Normalform schreiben und die Abstände bestimmen,

Ohne 3d Vektorrechnung, mach einen Schnitt längs der x Achse, dann hast du ein ebenes Dreieck    indem du den Abstand ausrechnen kannst

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Vielen Dank.

Wie rechne ich das konkret wegen des a aus dem Punkt P?

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