Hallo,
Ist das ein bestimmtes Verfahren welches angewendet werden soll?
Ja - nennt sich Linearisierung, aber im Detail ist es dann noch mal gesondert zu betrachten. Wenn die Ableitung einer Funktion \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\) bestimmt werden soll, so ist dies der Grenzwert von$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$$Ist nun diese Differenz \(x-x_0\) relativ klein, dann kann man auch schreiben$$f'(x_0) \approx \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \\ \implies f(x) - f(x_0) \approx f'(x_0) \cdot (x-x_0)$$Für \(2,1^4 - 2^4\) ist $$f(x) = x^4, \quad f'(x) = 4x^3, \quad x=2,1 \quad x_0=2$$Einsetzen gibt$$f(2,1)-f(2) \approx 4\cdot 2^3 \cdot (2,1 - 2) = 3,2 \quad (3,4481)$$Man kann etwas genauer werden, wenn man statt \(f'(x_0)\) die Steigung \(f'((x-x_0)/2)\) am arithmetischen Mittel verwendet. Und den Term \(2,05^3\) kann man auch abschätzen (ohne TR)$$2,1^4 -2^4 \approx 4\cdot (2,05)^3 \cdot (2,1-2) \approx 0,4\cdot (2^3 + 3\cdot 2^2 \cdot 0,05) = 3,44$$
In gleicher Weise geht man bei \(\ln(5) - \ln(2,8)\) vor. Hier ist \(f(x)=\ln(x)\), \(f'(x)=1/x\) und wir nehmen wieder die Steigung am arithmetischen Mittel von \(5\) und \(2,8\):$$\ln5 - \ln2.8 \approx \frac{2}{5+2,8} \cdot (5-2,8) = \frac{44}{78} \approx 0,564 \quad (0,5798...)$$
im dritten Fall ist es ein wenig anders. Hier stellen wir die Ausgangsgleichung (s.o.) noch mal um$$f(x) \approx f'(x_0) \cdot (x-x_0) + f(x_0)$$Dann ist \(f(x)= \sqrt x\), \(x_0 = 25\) und \(x=26\), sowie die Ableitung \(f'(x)=1/(2\sqrt x)\)$$\sqrt{26} \approx \frac 1{2\sqrt{25}} (26-25) + \sqrt{25} = 5,1 \quad (5,0990...)$$
