Mathematik/Stochastik Aufgabe

Question

Aufgabe:

Aus den ersten 100 natürlichen Zahlen wird eine Zahl zufällig gezogen.

A) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie durch 4 oder durch 6 teilbar?

B) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie weder durch 3 noch durch 8 teilbar?

Problem/Ansatz:

Bitte mit Rechenweg.

Comments

Aus den ersten 100 natürlichen Hahöen wird eine Zahl zufällig gezogen.

Ach, aus denen?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Durch Abzählen findest du:$$p(\text{durch 4 teilbar})=\frac{25}{100}$$$$p(\text{durch 6 teilbar})=\frac{16}{100}$$$$p(\text{durch 4 und 6 teilbar})=\frac{8}{100}$$Damit hast du nun:$$p(4 \text{ oder }6)=p(4)+p(6)-p(4\text{ und }6)=\frac{25+16-8}{100}=\frac{33}{100}$$

zu b) Wieder durch Abzählen findest du:$$p(\text{durch 3 teilbar})=\frac{33}{100}$$$$p(\text{durch 8 teilbar})=\frac{12}{100}$$$$p(\text{durch 3 und 8 teilbar})=\frac{4}{100}$$Damit hast du nun analog:$$p(3 \text{ oder }8)=p(3)+p(8)-p(3\text{ und }8)=\frac{33+12-4}{100}=\frac{41}{100}$$$$p(\text{nicht \(3\) und nicht \(8\)})=p(\text{nicht (\(3\) oder \(8\))})=1-\frac{41}{100}=\frac{59}{100}$$

Comments

Durch Abzählen findest du:

Oder durch Dividieren:

100/4=25

Durch 6:

96 ist die größte Zahl bis 100, die durch 6 teilbar ist.

96/6=16

Durch 4 und 6 ist äquivalent zu durch 12.

96/12=8

:-)

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Oder so:

(100 div 4) + (100 div 6) - (100 div lcm(4,6)) = 33

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Die Kunst gut zu antworten liegt darin, den Fragensteller abzuholen.

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Und ähnlich die andere:

100 - (100 div 3) - (100 div 8) + (100 div lcm(3,8)) = 59

Beide Rechnungen etwa eine halbe Zeile lang, nur mit Mitteln der Klassen 4 bis 6, und jeweils leicht im Kopf zu berechnen. :-)

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Die Kunst gut zu antworten liegt darin, den Fragensteller abzuholen.

Genau meine Meinung.

Wenn die Aufgabe aber so geändert wird, dass die Zahlen statt bis 100 bis 1000 oder 10000 betrachtet werden, wird esit dem Abzählen schwierig.

:-)

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Wenn die Aufgabe geändert würde, würde ich auch anders antworten.

Ich weiß allerdings nicht, ob ich auch auf deine bzw. azis geniale Idee mit der Division gekommen wäre... ;)

Answer 2

Aus den ersten 100 natürlichen Hahöen wird eine
Zahl zufällig gezogen.

A) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie durch
4 oder durch 6 teilbar?

1..99 = 4 .. 96
4/4 .. 96/4
1.. 24
24 mal
6 .. 96
1.. 16
16 mal

24 + 16 = 40

40 Zahlen sind durch 4 oder 6 teilbar
1..100 Grundmenge
40 / 100 = 0.4 oder 40 %

Comments

was sollen die ... bedeuten?

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Das mit dem Zählen üben wir aber noch mal.

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Wie muss es bei B aussehen?

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1 .. 99
In Worten
1 bis 99

Könnte ein mitdenkender Mensch auch
drauf kommen.

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Moin Georg,

ich kann deinen Gedankengang, bzw. eher die Notation, glaube ich, nachvollziehen.

1..99 = 4 .. 96

Ich meine, hier fehlt noch die 100, da ja die ersten 100 natürlichen Zahlen gemeint sind, weshalb du dann auf 25 Zahlen kommst, die durch 4 Teilbar sind.

40 / 100 = 0.4 oder 40 %

Das kann man nicht so einfach rechnen, da die beiden Ereignisse ("durch 4" und "durch 6") nicht disjunkt sind und man somit die Formel nutzen muss, die Tschakabumba nutzt.

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1 bis 99

Könnte ein mitdenkender Mensch auch
drauf kommen.

Hallo Georg,

auch wenn ich mitdenke, sind das nur 99 und nicht 100 natürliche Zahlen.

:-)

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Jetzt überfordert den Armen doch nicht.

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Warum ich auf 99 bzw. 96 gekommen bin
weiß ich auch nicht mehr. Aber Gott sei Dank
kann man ja alles korrigieren.

4 bis 100 gleich
4 * ( 1 bis 25 ) also 25 Möglichkeiten

6 bis 96 gleich
6 * ( 1 bis 16 ) also 16 Möglichkeiten

Jetzt müssten wir noch auf elegante Art die Zahlen herausfinden die durch 4 und 6
teilbar sind und deren Anzahl abziehen.

158 / 96  / 78  19.09.20
165 / 108 / 80
156 / 102 / 104 04.11.20
148 / 100 / 92
170 / 112 / 86  07.01.21
160 / 101 / 83  24.01.21
171 / 105 / 72  02.02.21
157 / 102 / 92  03.02.21
158 / 101 / 73  09.02.21
163 / 102 / 68  16.02.21
160 / 105 / 83  22.02.21

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161 / 103 / 82 * 11

Das sind meine Blutdruckwerte und das
Mittel. Dies nennt man Altershochdruck:

Hat aber nichts mit der Aufgabe zu tun
sondern dient nur der Verwirrung.

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Oder du überlegst dreimal täglich, welche die 100. natürliche Zahl ist.