Kurvendiskussion zu einer Funktion f(x) = -1/18 x^4+x^2

Question

Ich brauche einmal eure Hilfe, denn ich weiß einfach nicht mehr weiter!

Wir sollen zu dieser Funktion: f(x) = -1/18 x^4 + x²

eine Kurvendiskussion machen. Kann mir das einer einmal komplett vorrechnen, mit Erklärung? :-)

Punkte:

Definitionsmenge und Wertemenge

Nullpunkt- oder y-achsen symmetrisch?

Schnittpunkte an den Achsen

Asymptoten

Extremstellen

Hoch- und Tiefpunkte

Wendestellen? (Kurvenwechsel u. Sattelstellen)

 

Das wäre super lieb von euch! :) ich weiß nämlich so gar nicht wie ich das machen soll, ich bräuchte einmal ein Beispiel! :)

Comments

 -1/18x4+x²  ???  Bitte jeweils durchlesen.

Meinst du das Polynom

y=  -1/18*x^4+x²

oder steht x^4 auch noch unter dem Bruchstrich:

y=  -1/(18x^4) + x²

oder noch etwas Anderes?

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Oh entschuldigung für die ungenauen angaben. die x^4 steht nicht mehr mit in dem Bruch! :)

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Fragestellung dementsprechend korrigiert.

Answer 1

 f(x) = -1/18 x⁴ + x²

eine Kurvendiskussion machen. Kann mir das einer einmal komplett vorrechnen, mit Erklärung? :-)

Punkte:

Definitionsmenge und Wertemenge

Definitionsmenge ist D=  R. Grund Polynom.
Wertemenge alle Zahlen die nicht über dem globalen Maximum liegen. W ={x|x≤4.5} (vgl. unten)

Nullpunkt- oder y-achsen symmetrisch?

y-achsensymmetrisch, da nur gerade Potenzen von x vorkommen.

Schnittpunkte an den Achsen

y-Achse: x= 0 einsetzen ---> y=0 P(0|0)

x-Achse: -1/18 x⁴ + x² = 0

(-1/18 x^2 +1) x²=0

x1=0 ist doppelte Nullstelle.
x^2 = 18 → x2 = 3√2 und x3= -3√2

x-Achsenschnittpunkte: N1(-3√2,0), N2(0|0}, N3(3√2|0)

Asymptoten

keine, da Polynom.

Extremstellen

f(x) =  -1/18 x⁴ + x²

f ' (x) = -4/18 x^3 + 2x = 0

x(-2/9 x^2 + 2) = 0

x1=0, 

x^2 = 9 -> x2=3, x3=-3

Hoch- und Tiefpunkte

f(x) =  -1/18 x⁴ + x²          |weil höchster Koeffizient -1/18 <0 hat Polynom Vulkanquerschnittform

rel. Max. bei x=3 und x=-3 ist auch globales Max. 

rel. Min. bei x=0.

H1(3|- 3^4/18 + 9) = H(3 |-9/2 + 9) = H(3|4.5)

H2(-3|4.5) (Symmetrie!)
T(0|0) nur rel. Min.

Wendestellen? (Kurvenwechsel u. Sattelstellen)

f ' (x) = -4/18 x^3 + 2x 

f '' (x) = -12/18 x^2 + 2 =0

-2/3 x^2 + 2= 0

x^2 = 3

x = ±√3

x1=-√3, x2=√3 sind Wendestellen.

Zahlen ohne Gewähr! Nachrechnen und allenfalls mit Hilfe/Kontrolle von https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29+%3D+-1%2F18+x%5E4+%2B+x%5E2 berichtigen.