Question

Woran erkennt man ein uneigentliches Integral?

Gegeben seien 2 Integrale:

$$ \int \limits_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$

$$ \int \limits_{3}^{6} \frac{2}{\sqrt{8x - 24}} dx $$

Normalerweise würde ich das an dem unendlich Zeichen erkennen, jedoch ist es dieses Mal so, dass wir 2 bestimmte Grenzen haben. Wenn möglich, sollte man es bitte ohne zeichnen erkennen (also halt der schnellste und einfachste Weg).

Answer 1

Du solltest dir trotzdem mal deine Funktionen zeichnen lassen.

~plot~ 1/sqrt(x);x=0;x=2 ~plot~

~plot~ 2/sqrt(8x-24);x=3;x=6 ~plot~

Was fällt dir in Bezug auf die Funktion und den Grenzen auf?

Comments

beide verschieben sich 3 Stellen nach links.
Könnten Sie mir auch noch bitte sagen, wie ich von 1/\( \sqrt{x} \) auf 2*\( \sqrt{x} \) ohne TR kommen soll? Ich habe es bereits mit dem Potenzgesetz probiert: Den Bruch in \( \sqrt{x} \) ^-1 umgeschrieben, jedoch ergibt die Stammfunktion davon was anderes.

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beide verschieben sich 3 Stellen nach links.

Das ist sicher so nicht richtig. Hören wollte ich auch eher das in der Nähe der einen Grenze die Funktionswerte wohl unendlich groß werden. Das nennt man hier übrigens eine Polstelle. Also, wenn der Graph eine Senkrechte als Asymptote hat.

f(x) = 1/√x = x^{-1/2}

F(x) = 2·x^{1/2} = 2·√x

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Text erkannt:

"Könnten Sie mir auch noch bitte sagen, wie ich von \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) auf \( 2 \cdot \sqrt{x} \) ohne TR kommen soll?"
\( \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot d x=\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot d x=\int x^{-\frac{1}{2}} \cdot d x=\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=2 \cdot x^{\frac{1}{2}}+C=2 \cdot \sqrt{x}+C \)

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"Könnten Sie mir auch noch bitte sagen, wie ich von 1/\( \sqrt{x} \) auf 2*\( \sqrt{x} \) ohne TR kommen soll?"

Text erkannt:

Oder mit dem Weg über die Substitution:
\( \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot d x \)
\( \sqrt{x}=\left.u\right|^{2} \)
\( x=u^{2} \)
\( d x=2 u \cdot d u \)
\( \int \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot d x=\int \frac{1}{u} \cdot 2 u \cdot d u=2 \int d u=2 u+C=2 \sqrt{x}+C \)

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$$ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2 * \sqrt{x} + C $$

Wie sind Sie hier auf $$ 2 * \sqrt{x} + C $$ gekommen? Ich habe es selbst nachgerechnet und bin jetzt am folgenden Schritt:

$$ (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}) - (\frac{0^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}) = (\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}) - (0) $$ komme dort jedoch nicht mehr weiter. 2^1/2 könnte man ja zu Wurzel aus 2 umschreiben. Jedoch weiß ich nicht, wie ich Wurzel 2 / 1/2 umschreiben soll.

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x^{1/2} / (1/2)

x^{1/2} schreibt man als √x

= √x / (1/2)

Man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrbruch multipliziert

= √x * (2/1)

= √x * 2

= 2 * √x

Das sollte denke ich jetzt etwas klarer sein.

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Ja, auf jeden Fall. Vielen Dank euch beiden!

Answer 2

An mindestens einer der Grenzen oder zwischen den Grenzen liegt eine Polstelle.

Comments

Geht das auch anders? Weil dieses Verfahren hatten wir nicht.

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Ich weiß nicht, welches Verfahren du meinst. Ich habe kein Verfahren angegeben, sondern eine Aussage gemacht. Was ist an dieser Aussage unklar?

Answer 3

Normalerweise würde ich das an dem unendlich Zeichen erkennen, ( stimmt schon einmal nicht, ich kann dafür
auch ein Beispiel bringen )

jedoch ist es dieses Mal so, dass wir 2 bestimmte Grenzen haben. Wenn möglich, sollte man es bitte ohne zeichnen erkennen (also halt der schnellste und einfachste Weg).

1 / √ x ist für die untere Grenze x = 0 unendlich.
Der Flächeninhalt dürfte es dann auch sein

3 / √ ( 8*x - 24 ) ist für die untere Grenze x = 3 unendlich.
Der Flächeninhalt dürfte es dann auch sein

Comments

1 / √ x ist für die untere Grenze x = 0 unendlich.
Der Flächeninhalt dürfte es dann auch sein

Ist das deine Vermutung?
Kannst du die Vermutung auch belegen?

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Korrektur
f: ( x ) = 1 / √ (x)
Stammfunktion
S = 2 * √ x
zwischen 0 und 2
2 * √ 2

Da wollte ich es mir auf die schnelle zu
einfach machen.

Für die andere Funktion sieht es ähnlich aus.

Fragesteller
Woran erkennt man ein uneigentliches
Integral?
Normalerweise würde ich das an dem unendlich Zeichen erkennen,...

Leider nicht
Beispiel : Nimm einen Würfel mit 1 m
Kantenlänge . Halbiere diesen horizontal
. 1 Stück halbierst du nochmals, Ein Stück
halbierst du wieder horizontal. usw, usw
Du erhältst eine unendlich langen Körper
vom endlichen Volumen 1 m^3.

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Wenn der Bereich, über den integriert wird, unbeschränkt ist, dann handelt es sich um ein uneignetliches Integral.

Wenn eine der Integrationsgrenzen \(\infty\) oder \(-\infty\) ist, dann ist der Bereich, über den integriert wird, unbeschränkt.

Welches Beispiel würdest du denn bringen?

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Definition
Eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral.

Nicht das wir aneinander vorbeireden.

Was ist deine Frage ?

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Eine Fläche kann ins Unendliche reichen und dennoch endlichen Flächeninhalt besitzen. In diesem Fall spricht man von einem uneigentlichen Integral.

Um von einem uneigentlichen Integral zu sprechen, muss der Flächeninhalt meines Wissens nach nicht endlich sein

https://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral

.Weiterhin geht es immer noch um Integrale und nicht um Reihen.

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Meine Frage ist, wie das Beispiel aussieht, das du in deiner Antwort erwähnt hast.