Aloha :)
1) Die erste Ableitung ist \(=0\) und die zweite Ableitung ist \(<0\). Das bedeutet, dass an der betreffenden Stelle ein Maximum vorliegt, also$$\text{Maximum bei }P(0|4)$$
2) Die zweite Ableitung ist \(=0\) und die dritte Ableitung ist \(\ne0\). Das bedeuet, dass an der betreffenden Selle ein Wendepunkt vorliegt, also$$\text{Wendepunkt bei }x_w=2$$
3) Der Grenzwert für \(x\to\infty\) geht gegen \(\infty\). Das bedeuet, dass die Funktion nach rechts ins Unendliche wächst.
4) \(f(-x)=f(x)\) bedeutet, dass die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Man kann sie sozusagen um die \(y\)-Achse umplappen und der Graph von beiden Seiten liegt dann exakt übereinander.
Als Beispiele für solche Funktionen, habe ich für dich eine ausgerechnet, die alle oben genannten Kriterien erfüllen. Das Polynom ist allerdings schon von 4-ter Ordnung.$$f(x)=\frac{1}{48}x^4-\frac{1}{2}x^2+4$$
~plot~ 1/48*x^4-1/2*x^2+4 ; {0|4} ; {2|7/3} ; [[-6|6|0|10]] ~plot~
Wenn du noch ein weiteres Polynom brauchst, was alle(!) obigen Anforderungen erfüllt, musst du wegen der Achsensymmetrie schon auf Polynome 6-ter Ordnung zurückgreifen. Das kann aber wohl nicht erwartet werden. Daher schlage ich vor, wir weichen in einer Forderung ab und wählen \(f''(0)=-2\). Dann brauchst du nur den Faktor vor dem \(x^4\) abzuändern und es bleibt bei 4-ter Ordnung:$$f(x)=\frac{1}{24}x^4-\frac{1}{2}x^2+4$$
~plot~ 1/24*x^4-1/2*x^2+4 ; {0|4} ; {2|8/3} ; [[-6|6|0|10]] ~plot~
