Wahrscheinlichkeitsrechnung nach Bayes Aufgabe

Question

Aufgabe:

Eine Unfallversicherung teilt Autofahrer in 3 Gruppen: schlechte, mittlere und gute Autofahrer.

Es wird angenommen, dass mit folgenden Wahrscheinlichkeiten im ersten Versicherungsjahr mindestens 1 Unfall verursacht wird:

schlechte Autofahrer: 0.6

mittlere Autofahrer: 0.1

gute Autofahrer: 0.01

Es wird außerdem angenommen, dass 30% aller Autofahrer schlecht, 60% mittlere und 10% gute Autofahrer sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
a) dass ein Autofahrer, der innerhalb eines Jahres mindestens einen Unfall verursacht hat, der Gruppe der guten Autofahrer angehört?
b) dass ein Autofahrer , der innerhalb eines Jahres mindestens einen Unfall verursacht hat, der Gruppe der schlechten Autofahrer angehört?

Geben Sie die Lösung als Dezimalzahl mit 5 Nachkommastellen an.

Problem/Ansatz:

Ich komme nicht auf das richtige Ergebnis, das laut Lösung für a) 0.00415 und für b) 0.74689 ist. Kann mir jemand die Rechenschritte erläutern?

Answer 1

Am Besten machst du dir hier eine modifizierte 4- (hier 6)-Feldertafel:

                  Unfall                kein Unfall    gesamt

schlecht

mittel

gut

Zuerst die gesamten Autofahrer eintragen - ich trage immer ganzzahlig von 100 ein, aber du kannst natürlich auch %-Werte nehmen.

                Unfall               kein Unfall   gesamt

schlecht                                                  30

mittel                                                       60

gut                                                          10

Jetzt die Anzahl der Unfallfahrer in Prozent von den gesamten eintragen, d.h. 30*0,6 bei schlecht/Unfall etc.

            Unfall               kein Unfall   gesamt

schlecht     18                                            30

mittel            6                                            60

gut               0,1                                        10

Die Spaltensumme "Unfall" gibt dir jetzt alle Unfälle, das sind die "möglichen Fälle", davon der Prozentsatz der "guten" und der "schlechten":

0,1/24,1 bzw.

18/24,1......und das stimmt auch mit der Musterlösung.