Welche komplexe Relation ist richtig?

Question

Aufgabe:

1. Für jedes \( z \in \mathbb{C} \) mit \( z \neq 0 \) gilt \( [ \) Typ \( x \) aus 4\( ] \)

(a) \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar{z}}{|z|} \)

(b) \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^{2}} \)

(c) \( \dfrac{1}{|z|}=\dfrac{z}{\bar{z}^{2}} \)

(d) \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{\bar{z}}{\sqrt{z^{2}+\bar{z}^{2}}} \)

Problem/Ansatz:

Ich fühle mich gerade wirklich dumm :( Habe als Beispielzahl z=1+i genommen, d.h z-Strich = 1-i und der Betrag von z = Wurzel aus 1² + 1² = Wurzel von 2 = ~1.4
für a) 1/(1+i) ist nicht (1-i)/Sqrt(2)

für b) 1/(1+i) ist ungleich (1-i)/2

für c) 1/sqrt(2) ist ungleich (1+i)/-2i

für d) 1/(1+i) ist ungleich (1-i)/0

Das würde bedeuten, dass keine der obigen Antworten richtig ist, was ich nicht glaube. Möglich wäre es aber theoretisch.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{\overline z}{|z|}\ne\frac{1}{z}\quad\text{denn}\quad\frac{2}{2}=1\ne\frac{1}{2}\quad\text{(Falsch)}$$$$\frac{\overline z}{|z|^2}=\frac{\overline z}{z\cdot\overline z}=\frac{1}{z}\quad(\checkmark)$$$$\frac{1}{|z|}\ne\frac{z}{\overline z^2}\quad\text{denn}\quad\frac{1}{|i|}=1\ne-i=\frac{i}{(-i)^2}\quad\text{(Falsch)}$$$$\frac{1}{z}\ne\frac{\overline z}{\sqrt{z^2+\overline z^2}}\quad\text{denn}\quad\frac{1}{i}=\frac{-i^2}{i}=-i\ne\frac{-i}{\sqrt{-2}}=\frac{(-i)}{\sqrt{i^2+(-i)^2}}\quad\text{(Falsch)}$$Nur (b) ist richtig.

Answer 2

für b) 1/(1+i) ist ungleich (1-i)/2

Hm... wenn etwas nicht gleich gleich aussieht, kann es immer noch gleich sein.

Comments

Wenn du unbedingt falsche Aussagen durch Einsetzen identifizieren möchtest, musst du natürlich richtig rechnen. Vielleicht gelingt das mit \(z=2\) oder so besser.