Winkel im Raum lineare Gleichungssystem

Question

Gegeben:
\( A(3|2|-1) \) und \( B \mid(7|-4| 6) \) & Gerade \( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}-2 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \) mit \( r \in \mathbb{R} \).
Bestimmen Sie einen Punkt \( \mathrm{C} \) so auf der Geraden \( \mathrm{g} \), dass das Dreieck \( \mathrm{ABC} \) einen rechten Winkel bei \( \mathrm{C} \) hat.


Weiß leider nicht, wie ich C rausbekommen kann & wie ich das mit g machen soll...

Answer 1

Die Richtungsvktoren AC und BC müssen orthogonal sein bzw. ihr Skalarprodukt muss 0 sein

(([6, 4, 5] + r·[-2, 1, 2]) - [3, 2, -1])·(([6, 4, 5] + r·[-2, 1, 2]) - [7, -4, 6]) = 0 --> r = - 7/9 ∨ r = -1

C1 = [6, 4, 5] - 7/9·[-2, 1, 2] = [68/9, 29/9, 31/9]

C2 = [6, 4, 5] - 1·[-2, 1, 2] = [8, 3, 3]

Comments

und was muss ich danach machen?

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Wieso danach. Damit bist du doch bereits fertig. Mehr als C ausrechnen sollte man doch nicht?

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und was muss ich danach machen?

Nix mehr - es gibt zwei Lösungen \(C_1\) und \(C_2\) wie oben in der Antwort vom Mathecoach beschrieben.

Frage nach, wenn was unklar ist!

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naja ich muss doch g auch irgendwie miteinbringen, oder nicht?

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Was denkst du wofür der Ausdruck [6, 4, 5] + r·[-2, 1, 2] in meiner Rechnung steht und wieso ich nach r aufgelöst habe?

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= - 7/9 ∨

Was soll dieses V hier bedeuten?

[68/9, 29/9, 31/9]

Und wie kommt man darauf?

Und wie sähe das ganze aus? Kann es mir mit c1 und c2 nicht so grafisch vorstellen..

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Das v ist das mathematische oder

Es gibt also die eine Lösung ODER die andere Lösung.

Kannst du folgendes ausrechnen

C1 = [6, 4, 5] - 7/9·[-2, 1, 2]

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Ja dann müsste ich doch jede zeile ausrechnen. Also bei

C2 = [6, 4, 5] - 1·[-2, 1, 2] = [8, 3, 3]

Käme bei mir nicht (8,3,3) sondern (12, -4, -10) raus

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Was rechnest du denn?

6 - 1 * (-2) = ?
4 - 1 * 1 = ?
5 - 1 * 2 = ?

Notfalls nimm ein Taschenrechner

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Ich rechne

6 * -1 * -2

4 * -1 *1 und

5 *-1*2

Warum muss man das wie bei Ihnen machen?

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r = - 7/9 ∨ r = -1

Und wie kommt man auf diese Ergebnisse?

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Dazu musst du die Gleichung

(([6, 4, 5] + r·[-2, 1, 2]) - [3, 2, -1])·(([6, 4, 5] + r·[-2, 1, 2]) - [7, -4, 6]) = 0

lösen. Natürlich darfst du gerne vereinfachen. Dann gibt das eine recht handliche quadratische Gleichung.

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Warum muss man das wie bei Ihnen machen?

Es gibt keine Rechnung mit Vektoren, bei der man so wie du rechnet.

Es geht doch einfach darum ein r auszurechnen und das dann für r in die Gerade einzusetzen.

Wie rechnest du sonst Punkte einer gerade aus wenn du für r Werte einsetzt oder hast du das nie gemacht?

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Also ich hab bisher nur so Zeile für Zeile... wie geht das denn? Weiß nicht, wie Sie das gemacht haben..

Und die Gleichung kann man mit vektoren doch nicht einfach so auflösen, oder? Ich bin verwirrt...

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Doch kann man. Schreib doch die Gleichung erstmal ordentlich auf. Also die Vektoren die bei mir zeilenweise notiert sind schreibst du spaltenweise auf. Dann vereinfachst du.

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Habe ich ja.. aber ich komme irgendwie auf ganz andere Ergebnisse. Können Sie mir bitte eine spalte vor machen?

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r = - 7/9 ∨ r = -1

Wie kommen Sie darauf? Also wie kommt man auf 2 Ergebnisse?

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Wie kommen Sie darauf? Also wie kommt man auf 2 Ergebnisse?

Wenn zu zwei Punkten ein dritter Punkt auf einer Geraden gesucht ist, der zusammen mit den beiden anderen ein rechtwinkliges Dreieck ergeben soll, so bekommt man i.A. zwei Lösungen:

beide gesuchten Punkte \(C_1\) und \(C_2\) liegen auf einem Kreis (bzw. einer Kugel in 3D) mit Durchmesser \(AB\). Der rechte Winkel soll beim Punkt \(C\) liegen.

In Deinem konkreten Fall ist die vollständige Rechnung:$$\begin{aligned} \left( \begin{pmatrix}6\\ 4\\ 5\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\ 2\\ -1\end{pmatrix}\right)\left(\begin{pmatrix}6\\ 4\\ 5\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}7\\ -4\\ 6\end{pmatrix} \right) &= 0 &&|\, AC \perp BC \\ \left( \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 6\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\right)\left(\begin{pmatrix}-1\\ 8\\ -1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} \right) &=0 \\ \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\ 8\\ -1\end{pmatrix} + r\left( \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ 8\\ -1\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + r^2\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 0\\ \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\ 8\\ -1\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}2\\ 10\\ 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + r^2\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 0\\7 +16 r + 9r^2 &= 0\end{aligned}$$so ein Ausdruck wie $$\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$$ ist das Skalarprodukt zweier Vektoren und wird berechnet:$$\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} = 3\cdot (-2) + 2\cdot 1 + 6\cdot 2 = 7$$zum Schluß ist dann noch die quadratische Gleichung zu lösen - z.B. mit der Mitternachtsformel$$ \begin{aligned}r_{1,2} &= \frac{-16 \pm \sqrt{16^2 - 4\cdot 9 \cdot 7}}{2 \cdot 9} \\ &= -\frac 89 \pm \frac 19 \end{aligned}$$und so kommt man zu den zwei Lösungen für den Punkt \(C\).