Ebenen im Raum: Tuch im Zimmer ist so gespannt,dass es als Ausschnitt einer Ebene angesehen werden kann.

Question

Der sehr hohe Raum in Figur 1 wurde durch das dreieckige Segeltuch das an den Stellen A,B und C befestigt wurde, wohnlicher gestaltet. Das Tuch ist so gespannt, dass seine Oberfläche als Ausschnitt einer Ebene angesehen werden kann.

Geben Sie eine Parametergleichung der Ebene E an, die durch die Befestigungspunkte des Segeltuches festgelegt wird. Legen Sie hierzu ein geeignetes Koordinatensystem fest.

Quelle: Lambacher Schweizer Grundkurs Qualifikationsphase NRW

Comments

Wie ich überhaupt anfangen soll und wie ich die Vektoren rausbekomme ...

ich kann Dir den Geoknecht3D wärmstens zum Üben empfehlen. Das macht Spaß und dann werden Punkte, Vektoren und Ebenen einfach anschaulich.

Answer 1

Ich mache hier mal alle 3 wichtigen Ebenenformen:

Ortsvektoren aus Skizze ablesen

Koordinatenursprung wird die Zimmerecke hinten unten links.

A = [4, 0, 3.5] ; B = [0, 4, 4.5] ; C = [0, 6, 2.5]

Richtungsvektoren aufstellen

AB = B - A = [0, 4, 4.5] - [4, 0, 3.5] = [-4, 4, 1]
AC = C - A = [0, 6, 2.5] - [4, 0, 3.5] = [-4, 6, -1]

Ebene in Parameterform

E: X = A + r·AB + s·AC
E: X = [4, 0, 3.5] + r·[-4, 4, 1] + s·[-4, 6, -1]

Normalenvektor aufstellen

k·n = AB ⨯ AC = [-4, 4, 1] ⨯ [-4, 6, -1] = [-10, -8, -8] = -2·[5, 4, 4]

Ebene in Normalenform

E: (X - A)·n = 0
E: (X - [4, 0, 3.5])·[5, 4, 4] = 0

Ebene in Koordinatenform

E: X·n = A·n
E: [x, y, z]·[5, 4, 4] = [4, 0, 3.5]·[5, 4, 4]
E: 5·x + 4·y + 4·z = 34

Comments

Okay ich brauche doch nur die Paramtergleichung oder?

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Ja. Du brauchst erstmal nur die Parametergleichung. Schreibe den Rest aber eventuell schon mal mit auf. Du wirst es eh irgendwann brauchen.

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Wie bist du eigentlich auf A B und C gekommen ? Kannst du das kuru mal schreiben du bist ja in der ecke unten links gestartet und danach?

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Ich starte in der Ecke hinten, unten Rechts. Die x-Achse geht nach vorne, die y-Achse geht nach rechts und die z-Achse geht nach oben.

Zum Punkt A kommst du, wenn du 4 Einheiten nach vorne gehst, 0 Einheiten nach rechts und 3.5 Einheiten nach oben.

Zum Punkt B kommst du, wenn du 0 Einheiten nach vorne gehst, 4 Einheiten nach rechts und 4.5 Einheiten nach oben.

Zum Punkt C kommst du, ...

Answer 2

Nenne die vordere, untere, linke Raumecke (0|0|0) und die Achsen entlang der drei Raumkanten, die dort beginnen.

Dann aus A(0|0|3,5); B(4|4|4,5) und C(6|4|2,5). Parameterform z,B. (x|y|z)=A+r·(B-A)*s·(C-A).

Comments

Achtung. Du nutzt hier noch eine veraltete Version des kartesischen Koordinatensystems in der die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach hinten weist.

Moderner ist die Version in der die x-Achse nach vorne und die y-Achse nach rechts weist.

Davon gehen fast alle heutigen Schulbücher aus.

https://de.wikipedia.org/wiki/3D