Quadratische Pyramide

Question

Aufgabe:

a) Eine quadratische Pyramide mit den Maßen a=70 cm und h=90 cm wird auf halber Höhe parallel zur Grundfläche durchgeschnitten. Wie groß sind die Volumina der beiden Teilstücke?
b) Wie groß ist der Volumenanteil der kleinen Pyramide an der gesamten Pyramide? Gilt das für alle quadratischen Pyramiden die so geteilt werden? Begründe.
c) In welcher Höhe hatte die Pyramide geteilt werden müssen, damit beide Teile dasselbe Volumen haben? Du kannst diese Aufgabe auch durch Probieren lösen.

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Beginne mit Teilaufgabe b), wenn du wissen möchtest, worum bei dieser Aufgabe geht.

Answer 1

a) Eine quadratische Pyramide mit den Maßen a=70 cm und h=90 cm wird auf halber Höhe parallel zur Grundfläche durchgeschnitten. Wie groß sind die Volumina der beiden Teilstücke?

A_gesamt = 1/3 * 70^2 * 90 = 147000

A_oben = 1/3 * 35^2 * 45 = 18375

A_unten = A_gesamt - A_oben = 147000 - 18375 = 128625

b) Wie groß ist der Volumenanteil der kleinen Pyramide an der gesamten Pyramide? Gilt das für alle quadratischen Pyramiden die so geteilt werden? Begründe.

A_oben / A_gesamt = 18375 / 147000 =  1/8

Das gilt immer

1/8 * 1/3 * a^2 * h = 1/3 * (a/2)^2 * (h/2)

c) In welcher Höhe hatte die Pyramide geteilt werden müssen, damit beide Teile dasselbe Volumen haben? Du kannst diese Aufgabe auch durch Probieren lösen.

p^3 = 1/2 → p = 0.7937005259

Die obere Pyramide muss eine höhe von

90 * 0.7937005259 = 71.43304733 bekommen.

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"Über mich: Bitte beachtet, dass ich keine abschreibfertigen Aufgaben vorrechne. Ich bin der Meinung dadurch lernt der Schüler/Student zu wenig. Meine Lösungen beziehen sich also in der Regel auf einen Ansatz und einer Lösung. Zwischenschritte sind generell selbst zu erbringen. Auf Nachfrage kann ich aber gerne bei einem Zwischenschritt helfen."

So demontiert man also die eigene Glaubwürdigkeit.

(Hauptsache, man sabotiert vor lauter Punktegeilheit das Anliegen derjenigen, die tatsächlich keine abschreibfertigen Lösungen liefern wollen.)

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Wenn ich schreibe

1/8 * 1/3 * a^2 * h = 1/3 * (a/2)^2 * (h/2)

dann sind Zwischenschritte vollständig selber zu erbringen.

Und auch wenn ich schreibe

p^3 = 1/2 --> p = 0.7937005259

ist das keinesfalls ein vollständiger Lösungsweg wie ich ihn als Lehrer erwarten würde.

Ich schreibe wenn Möglich immer einen Ansatz hin und auch eine Kontroll-Lösung. Denn es nützt nichts, wenn jemand eine Aufgabe rechnet und keine Lösung zum Vergleich hat.

Denk mal darüber nach.

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Und wenn ich schreibe:

"Berechne doch einfach mal das Volumen der Gesamtpyramide.aus a=70 und h=90.

Das obere Teilstück ist wieder eine Pyramide, die als Verkleinerung der Gesamtpyramide angesehen werden kann.

Die Höhe des oberen Teilstücks ist nur noch 45, und auch die Kantenlänge der Grundfläche ist nur noch halb so groß wie bei der Gesamtpyramide. Berechne nun das Volumen dieses Teilkörpers und löse die gestellte Aufgabe unter Verwendung beider Ergebnisse."

- was ist dann dein Beitrag anderes als ein eilfertiges Vorrechnen, was dem Fragesteller jeden Rest von Eigenarbeit abnimmt?

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Als ich selber Schüler war habe ich anhand von aufgaben gelernt von denen ich eine Kontroll-Lösung hatte.

Und bitte sei mir nicht böse. Alles andere macht meiner Meinung nach wenig Sinn.

Spätestens wenn der Fragesteller es dann berechnet hat wird er sich fragen ob es so richtig ist. Dann müsste er wieder nachfragen und jemand müsste sich erneut mit der Frage beschäftigen. So sieht er gleich das sein Ergebnis eventuell mit der Kontroll-Lösung übereinstimmt und kann dann gezielter nachfragen, wenn er ein anderes Ergebnis hat.

Z.B. weil er beim Berechnen der Pyramide das 1/3 vergessen hat. Zugegeben hätte ich den Ansatz als Text formulieren können. Das dauert aber ungleich länger und wenn ich ein Kontrollergebnis haben will und eh die Rechnung eintippen muss, dann kann ich die auch gleich als Ansatz so übernehmen.

Weiterhin hatte ich in meinem Profil deutlich geschrieben:

Meine Lösungen beziehen sich also in der Regel auf einen Ansatz und einer Lösung.

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"Spätestens wenn der Fragesteller es dann berechnet hat wird er sich fragen ob es so richtig ist. Dann müsste er wieder nachfragen und jemand müsste sich erneut mit der Frage beschäftigen."

Was ist daran schlimm? Hier tummeln sich so viele Leute, die alle auf die gleiche Frage nahezu identische Antworten geben, da tut es niemandem weh, wenn man stattdessen die Arbeit des Fragestellers abwartet und auf Rückfragen antwortet.

DU entmündigst Fragesteller. Sieh dir mal die anderen Antworten an zum aktuell laufenden Thread zur Linearfaktorzerlegung.

Manche antworten: Errate eine Nullstelle und führe Partialdivision durch.
Vielleicht hätte das gereicht, um die Aufgabe erfolgreich zu Ende zu bringen!

Andere führen die Partialdivision aus und schreiben "Nun ist noch die quadratische Gleichung zu lösen". Ein zumutbarer Anteil an Eigenarbeit, oder???

Du traust dem Fragesteller nicht mal DAS zu und löst ihm auch noch die quadratische Gleichung.

Das Schlimmste aber bleibt für mich, dass du die Arbeit aller anderen Antwortgeber, die Fragesteller wenigstens zu einem Anteil Eigenarbeit bewegen wollen, aus Sturheit und Eigensinn sabotierst.

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Ja. Schau dir die Linearfaktorzerlegung an:

https://www.mathelounge.de/606230/linearfaktorzerlegung-der-funktion-f-x-3-x-3-9-x-6

Inzwischen existiert auch eine Lösung über pq-Formel und Faktorisieren. Und das auch mit ausführlicheren Zwischenlösungen als ich sie angeboten habe.

Bei mir könnte der Fragesteller tatsächlich zweimal hintereinander die Polynomdivision bzw. das Horner Schema trainieren ohne das ich ihm das System dafür aufgeschrieben habe. Wobei er immer noch eine Kontroll-Lösung hat mit der er dann Vergleichen kann.

Wichtig ist doch das der Fragesteller das heraussuchen kann was ihm am besten hilft die Aufgabe zu verstehen und auch ähnliche Aufgaben selber zu lösen.

Und manchmal ist es da ganz interessant auch verschiedene Verfahren zu haben.

Wie gesagt halte ich selber nichts davon eigenständig zu lernen ohne eine Kontroll-Lösung zu haben. Aber das sieht vielleicht auch jeder Lerner anders.

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Vielen dank!!! Gott, ihr habt mich gerettet vom ganzem Schuljahr! :D

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Wunderbar das wir dir helfen konnten und du es jetzt verstanden hast.

Answer 2

Hallo Toddy,

ich habe Dir so eine Pyramide, die in der Mitte durch geschnitten ist, mal gezeichnet (Maßstab 1:20):

Klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen und bekommst so einen besseren räumlichen Eindruck.

Das Volumen \(V\) einer allgemeinen Pyramide oder auch eines Kegels ist$$V = \frac 13 hG$$wobei \(G\) die Grundfläche ist; und die ist bei quadratischen Pyramiden \(G=a^2\), wenn \(a\) die Kantenlänge der Grundfläche ist (Strecke \(AB\) in der Skizze). Demnach ist das Volumen der gesamten Pyramide$$V = \frac 13 ha^2 = \frac 13 \cdot 90 \text{cm} \cdot \left( 70 \text{cm}\right)^2 = 147000 \text{cm}^3 = 147 \text{dm}^3$$Der obere Teil der Pyramide (braun) ist halb so hoch und die Kante \(a_1\) der Grundseite ist nur halb so lang wie \(a\). Also ist das Volumen \(V_1\) des oberen Teils$$\begin{aligned} V_1 &= \frac 13 h_1 a_1^2 \\&= \frac 13 \cdot \frac h2 \cdot \left( \frac a2\right)^2 \\&= \frac 13 ha^2 \cdot \frac 18 \\&= \frac 18 V = 18375 \text{cm}^3 \end{aligned}$$Demnach bleibt für das Volumen \(V_2\) des unteren Teils (grün) übrig $$V_2 = V -V_1 = V - \frac 18 V = \frac 78 V = 128625 \text{cm}^3$$Damit wäre auch gleich die Teilfrage (b) beantwortet. Mit einen waagerechten Schnitt wird die Pyramide in zwei Teile geteilt, wobei der obere \(1/8\) und der untere Teil \(7/8\) des Gesamtvolumens beinhaltet.

(c) ich nenne die Höhe einer Pyramide, die so geteilt wird, dass zwei Teile mit gleichem Volumen entstehen, \(h_x\). Jetzt ist die Frage: wie groß ist das zugehörige \(a_x\)?

Dazu kann man wissen: das \(a\) wächst proportional mit dem \(h\) und umgekehrt. Vorausgesetzt der Öffnungswinkel der Spitze bleibt gleich; aber das ist ja hier gegeben. Wenn aber$$a \propto h $$dann ist auch $$\frac{a_x}a = \frac {h_x}h \implies a_x = h_x \frac{a}{h} $$also ist das zugehörige Volumen \(V_x\)$$V_x = \frac 13 h_x \cdot a_x^2 = \frac 13 h_x \cdot \left( h_x \frac{a}{h} \right)^2 = \frac 13 h_x^3 \cdot \left( \frac{a}{h} \right)^2$$Versuche mal die Höhen \(71\), \(72\) und \(73\text{cm}\) und schaue mal, was dann heraus kommt. Die Hälfte des Volumens wäre \(V/2=73500 \text{cm}^3\).

Gruß Werner

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"Damit wäre auch gleich die Teilfrage (b) beantwortet. Jede quadratische Pyramide wird durch einen waagerechten Schnitt in der Mitte im Verhältnis 1÷7 geteilt."

Damit ist die Frage b) nicht beantwortet, dann da war NICHT nach DIESEM Verhältnis gefragt. Die tatsächliche Antwort hast du vorher schon genannt.

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.. denn da war NICHT nach DIESEM Verhältnis gefragt.

stimmt - ich habe das korrigiert.

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Vielen dank, ihr hat es mir sehr leicht gemacht es zu verstehen! 
Danke noch einmal. :)

Answer 3

zu a)

Berechne doch einfach mal das Volumen der Gesamtpyramide.aus a=70 und h=90.

Das obere Teilstück ist wieder eine Pyramide, die als Verkleinerung der Gesamtpyramide angesehen werden kann.

Die Höhe des oberen Teilstücks ist nur noch 45, und auch die Kantenlänge der Grundfläche ist nur noch halb so groß wie bei der Gesamtpyramide. Berechne nun das Volumen dieses Teilkörpers und löse die gestellte Aufgabe unter Verwendung beider Ergebnisse.

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Vielen dank!