Kombinatorik - Anzahl der Wörter der Länge kleiner gleich 3 aus VIDEOKONFERENZ

Question

Aufgabe:

Berechne die Anzahl der unterschiedlichen Wörter mit bis zu Länge 3 (also Wörter der Länge 1, 2 und 3), die aus dem Wort VIDEOKONFERENZ gebildet werden können.

Problem/Ansatz:

Ich hänge an dieser vermutlich banalen Aufgabe fest. Ich kenne die Lösung (905 Wörter), verzweifle aber auf dem Rechenweg dahin, obwohl ich die Aufgabe schon einmal gelöst hatte, aber meine Notizen nicht mehr finde.
Für die Länge 1 sollten 10 Wörter herauskommen, da wir 10 unterschiedliche Buchstaben (VIDEOKNFRZ) haben, also \( \frac{10!}{(10-1)!} \) = 10.

Mein Ansatz für Wörter der Länge 2 ist demnach \( \frac{13!}{(13-2)!} \), da das dritte E keine Rolle spielt, aber die doppelten Möglichkeiten müssen noch herausgerechnet werden, aus meiner Sicht indem man durch 2!*2!*2! teilt. Analog für Länge 3, dann mit allen 14 Buchstaben.

So komme ich aber nicht auf die vorgestellte Lösung, was übersehe ich?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Da in der Aufgabe nichts von "sinnvollen" Wörtern steht, nehme ich statt Wörtern einfach Buchstabenfolgen an. Die Frage ist also, wie viele Buchstabenfolgen der Längen \(1\), \(2\) oder \(3\) können wir aus den 14 Buchstaben von "VIDEOKONFERENZ" bilden. Wir tun so, als würden wir die Buchstaben ohne Zurücklegen aus den 14 Buchstaben ziehen:

Wir haben \(\binom{14}{1}=14\) Möglichkeiten, genau einen Buchstaben auszuwählen.

Wir haben \(\binom{14}{2}=91\) Möglichkeiten, genau zwei Buchstaben auszuwählen.

Wir haben \(\binom{14}{3}=364\) Möglichkeiten, genau drei Buchstaben auszuwählen.

Das macht zusammen \(469\) Wörter. Bleibt die philosophische Frage, ob die leere Menge, also gar kein ausgewähltes Wort, auch ein Wort ist. In dem Fall wären es dann 470 mögliche Wörter.

Streng genommen müsstest du die doppelten Wörter noch subtrahieren. Das "E" kommt 3-mal vor, das "O" und das "N" kommen jeweils 2-mal vor. Das heißt, es gibt unter Wörtern doppelte. Du kannst ja mal versuchen, diese doppelten Wörter herauszurechnen...

Comments

Dann würden wir uns auf dem Gebiet von Teilmengen befinden und da {E}, {E} und {E} zum Beispiel dasselbe Wort beschreiben, aber {VI} etwas anderes als {IV} ist, hier aber als gleich aufgefasst wird, würde sich das Ergebnis verändern. Und 905 ist die offiziell als richtig ausgewiesene Lösung, wenn man das Nullwort nicht beachtet.

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Ich verstehe die Aufgabenstellung so, dass wir aus den 14 Buchstaben jeweils einen, zwei oder drei ohne Zurücklegen auswählen sollen. Dann komme ich aber inkliusive der mehrfach entstehenden Wörter auf maximal 469. Wenn nun 905 als offiziell richtig gilt, muss mit Zurücklegen gezogen werden.

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Wenn nun 905 als offiziell richtig gilt, muss mit Zurücklegen gezogen werden.

Das stimmt nicht.
10 + 10*9 + 3 + 10*9*8 + 3*27 + 1  =  905

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10 = # Länge 1
10*9 = # Länge 2 ohne doppelte Buchstaben
3 = EE, OO, NN
10*9*8 = # Länge 3 ohne doppelte Buchstaben

Aber woher kommen 3*27 (vmtl. 3*3^3?) und 1?

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vmtl. 3*3³

3 * (3*(10-1))

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Ok, aus den drei doppelten Buchstaben und den jeweils übrigen neun Buchstaben lassen sich weitere Wörter bilden, wobei es drei mögliche Anordnungen gibt, z.B. OON, NOO, ONO. Die 1 kommt dann noch durch EEE zustande.

Die Rechnung wirkt auf mich viel zu kompliziert für Zeitpunkt und Art der Aufgabe, denn sie war auf Präsenzblatt 1 und Aufgabenteil b), wohingegen man in a) und c) nur einfaches Einsetzen in Formeln vornehmen musste.

Trotzdem vielen Dank!