Mathe Biologielabor Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

In einem Labor wird eine besondere Fliegenart gezüchtet. Um das Wachstum der Fliegenpopulation zu bestimmen, wird die Anzahl der Fliegen nach einigen Tagen gezählt. Erste Ergebnisse sind als Punkte dargestellt . P1(0|23) P2(3|44)
.....
    Die Wissenschaftler gehen davon aus, dass die Population exponentiell wächst. Um Vorhersagen über die Anzahl der Fliegen in der Zukunft machen zu können, wollen sie die Anzahl der Fliegen durch eine Exponentialfunktion f(x) = c · ax simulieren. Dabei beschreibt f(x) die Anzahl der Fliegen und x die vergangenen Tage seit Beginn der Untersuchung.

Der Chef des Labors möchte weitere Zuchtlinien starten und dafür täglich 100 Fliegen aus der bisherigen Population entnehmen. Diese soll dadurch aber nicht „aufgebraucht“ werden.
4. Gib eine Rechnung an, ab wann dies möglich ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe die vorherigen Aufgaben hier nicht drin da ich diese selber gelöst habe ... die Funktion lautet f(x)=23*1,25^x

Ich verstehe allerdings die Aufgabe 4 nicht und habe keine Ahnung für einen Lösungsansatz

Answer 1

23·1.25^x - 100 = 23·1.25^(x - 1) --> x = 13.79880289

Nach 14 Tagen können täglich 100 Fliegen entnommen werden ohne das die Population dadurch aufgebraucht wird.

Comments

Vielen Dank!! Wieso wird aus den - 100  (x-1) ?

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Die Population bleibt dann konstant, wenn die Summe aus Zuwachs- und Abnahmerate gleich Null ist :

Löse f '(x) - 100 = 0  nach x auf : x = 13,88

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Vielen Dank!! Wieso wird aus den - 100  (x-1) ?

Wenn ich von der Population am Tag x 100 Fliegen wegnehme, dann müssen immer noch mind. soviel da sein wie am Tag vorher (x - 1).

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Ich komme mit dem Rechenweg nicht auf x=14 kann irgendwer eventuell einen Rechenweg hin schreiben ? Vielen Dank

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Hier mal schnell ein Rechenweg für die erste Lösung: Setze \(w:=1.25^{x-1}\), Dann verlangt die Gleichung:

$$23 \cdot 1.25 \cdot w-100=23\cdot w$$

Das kannst du jetzt nach w auflösen und die Gleichung \(w=1.25^{x-1}\) mit Hilfe eines Logarithmus nach x auflösen.

NOch eine Bemerkung: Du hast jetzt 2 verschiedene Modelle zur Lösung der Aufgabe, die auch verschiedene Ergebnisse liefern - mit geringer Abweichung bzw. keiner Abweichung, wenn es nur auf Tage ankommt.

Gruß

Answer 2

Erste Ergebnisse sind als Punkte dargestellt .
P1(0|23)
P2(3|44)

allgemeine Exponentialfunktion
f ( x ) = a * q^ t
f ( 0 ) = a * q^0 = a * 1 = a = 23

f ( 3 ) = 23 * q ^3 = 44
q^3 = 44 / 23
q^3 hoch 1/ 3 = (44/23) hoch 1/3
q = 1.241

f ( x ) = 23 * 1.241 ^x

Der Bestand am Folgetag soll um 100 größer
sein als der Bestand am aktuellen Tag
f ( x + 1 ) - f ( x ) = 100

23 * 1.241 ^(x+1) - 23 * 1.241 ^x = 100
23 * 1.241 ^(x)  * 1.241 ^(1) - 23 * 1.241 ^x = 100
1.241 * 23 * 1.241 ^(x)  - 23 * 1.241 ^x= 100
23 * 1.241 ^(x) * ( 1.241  -1 ) = 100
23 * 1.241 ^(x) = 414.94
1.241 ^(x) = 18.04
x * ln( 1.241) = ln(18.04);
x = 13.4

Dies bedeutet : beim Stand von 14.4 sind 100 Fliegen
mehr vorhanden als beim Stand von 13.4

Werden diese entnommen entspricht der Fliegen-
bestand wieder 13,4. Bei 14.4 sind dann wieder
100 Fliegen mehr da.

Das heißt es können pro Tag 100 Fliegen dauerhaft entnommen werden.