Nutzenfunktion Konsumenten Lagrange

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie einen Konsumenten mit folgender Nutzenfunktion: U(x,y) ≡ ln(y4x).
Die Güterpreise sind: px = 2 (für das Gut X) und py = 1 (für das Gut Y). Das Einkommen ist E = 50. Bestimmen Sie den optimalen Konsumplan! Welchen Wert hat der Lagrange- Multiplikator λ im Optimum?
Hinweis:
Die Hinreichende Bedingung ist erfüllt und muß von Ihnen nicht überprüft werden!!

Answer 1

Hallo,

ich interpretiere die Aufgabe derart, dass die Funktion$$U(x,y)= \ln(4xy)$$maximiert werden soll, unter der Nebendedingung $$2x+y=50$$Stelle die Lagrange-Funktion auf:$$L = \ln(4xy) + \lambda(2x+y-50) $$ableiten, Ableitung zu 0 setzen:$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{1}{x} + 2\lambda=  0\\ \frac{\partial L}{\partial y} = \frac 1y + \lambda =  0\\ \implies \frac 1x = \frac 2y \implies y=2x $$Und dies wieder in die Nebenbedingung einsetzen:$$2x+2y = 50 \implies x = \frac{25}2 \\ y = 25$$Wolfram Alpha kommt auf das selbe Ergebnis.

Welchen Wert hat der Lagrange- Multiplikator λ im Optimum?

welchen Wert diese Frage hat, werde ich wohl nie verstehen ... aber bitte. Wenn man den Wert für \(x\) oder \(y\) in eine der Ableitungen einsetzt, erhält man hier$$\lambda = -\frac 1{25}$$

Comments

Falls die Nutzenfunktion: \(U(x,y) = \ln(y^4x)\) lautet, ändert sich die Ableitung nach \(y\) zu$$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac 4y + \lambda$$und dann ist \(y=8x\) und$$x=5, \quad y=40$$und \(\lambda = -1/10\)

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Können Sie ausführen wie sie auf das neue Ergebnis kommen?

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Können Sie ausführen wie sie auf das neue Ergebnis kommen?

Mit \(U(x,y)= \ln(y^4x)\) ist die Lagrange-Funktion$$L = \ln(y^4x) + \lambda(2x+y-50) $$und ihre Ableitungen$$\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{y^4}{y^4x} + 2\lambda= \frac{1}{x} + 2\lambda\\ \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{4y^3x}{y^4x} + \lambda= \frac 4{y} + \lambda$$Setzt man die beiden Ableitungen zu 0 und eliminiert das \(\lambda\), so bleibt$$8x=y$$stehen. Einsetzen in die Nebenbedingung gibt dann:$$2x+8x=50 \implies x = 5$$und aus \(y=8x\) folgt daraus \(y=40\).

Answer 2

Wo liegen denn deine Probleme. Hier der optimale Konsumplan mit Wolframalpha ermittelt.

Ich habe die Nutzenfunktion etwas modifiziert. Ich denke so ist sie richtig oder?