Man ermittle die Gleichung der Geraden

Question

Aufgabe:

Man ermittle die Gleichung der Geraden welche durch die gegebenen Punkte geht:

P(3,-2) und Q(3,2)

Comments

Das kommt darauf an, ob Du eine Funktion oder eine Gerade sucht. Eine Funktion hat für einen \(x\)-Wert maximal einen Funktionswert. Hier gibt es aber für den Wert \(x=3\) zwei Werte \(-2\) und \(2\). Also gibt es keine Funktion, die das erfüllt.

Eine Gerade (in der Ebene) lässt sich aber in der Parameterform schreiben:$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\ 4\end{pmatrix}$$Die Punkte \(P\) und \(Q\) erreicht man dann mit \(\vec x(t=0) = P\) und \(\vec x(t=1) = Q\)

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Aber wäre es nicht:

$$\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}$$ ?

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Das wäre die identische Gerade. Nur der Parameter \(t\) wäre 'skaliert'. Genauso gut kann man schreiben:$$g: \quad \vec x = \begin{pmatrix}3\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$$Die Parameterform ist nicht eindeutig. Eindeutig wäre die normalisierte Koordinatenform. Das ist hier schlicht$$g: \quad x=3$$oder dasselbe in der Hesseschen Normalform$$g: \quad \begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix} \vec x = 3$$

Answer 1

P(3,-2) und
Q(3,2)

m = Δy / Δx = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( -2 - 2 ) / ( 3 - 3 )
Division durch 0 nicht erlaubt

Die Gerade ist eine Senkrechte zur y-Achse
im Abstand x = 3

Answer 2

Gleichung der Geraden

        y = mx + b

P(3,-2)

Einsetzen in obige Gleichung liefert

        -2 = m·3 + b.

Setze auch den zweiten Punkt ein um eine zweite Gleichung zu bekommen. Löse dann das Gleichungssystem um m und b zu bestimmen und setze die Lösung in y = mx + b ein.