Aloha :)
Wir sollen die Funktion \(f(x;y;z)\) unter der Nebenbedingung \(g(x;y;z)=\text{const}\) maximieren:$$f(x;y;z)=xyz\quad;\quad g(x;y;z)=x+y+z=9$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbedingung sein. Das heißt, es gibt einen sog. Lagrange-Multiplikator \(\lambda\), sodass gilt.$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y;z)$$
Wir bestimmen die Gradienten und setzen ein:
$$\begin{pmatrix}yz\\xz\\xy\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\implies\left\{\begin{array}{c}\frac{yz}{xz}=\frac{1}{1}&\implies&\frac{y}{x}=1&\implies & x=y\\[1ex]\frac{xz}{xy}=\frac{1}{1}&\implies&\frac{z}{y}=1&\implies & z=y\end{array}\right\}\implies x=y=z$$
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein und finden:$$9=x+y+z=3x\implies x=3\implies \boxed{x=y=z=3}$$
Das Maximum der Funktion lautet daher \(f(3;3;3)=27\).
