Aloha :)
Die Werte sind gleich, aber nicht identisch. Der Wert \(e^{i240^\circ}\) entsteht, indem der Punkt \(\binom{1}{0}\) in der komplexen Zahlenebene um \(240^\circ\) nach links zum Punkt \(\binom{\cos240^\circ}{\sin240^\circ}=\binom{-0,5}{-0,866}\) gedreht wird.
~plot~ sqrt(1-x^2) ; -sqrt(1-x^2) ; {1|0} ; {cos(240*pi/180)|sin(240*pi/180)} ; [[-1,5|1,5|-1|1]] ~plot~
Wenn du mit diesem Punkt nochmal \(360^\circ\) um den Kreis wanderst, landet er wieder an der Stelle \(\binom{-0,5}{-0,866}\), ebenso bei \(720^\circ\) und bei \(1080^\circ\). Eine komplette Umdrehung mehr oder weniger ändert also die Position des Punktes in der komplexen Zahlenebene nicht. Die \(240^\circ\) vom Anfang und drei weitere Umdrehungen um insgesamt \(1080^\circ\) liefern einen Gesamt-Drehwinkel von \(1320^\circ\).
Formal kann man das mit den Potenzgesetzen begründen:$$e^{i240^\circ}=e^{i240^\circ}\cdot1^3=e^{i240^\circ}\cdot(e^{i360^\circ})^3=e^{i240^\circ}\cdot e^{i1080^\circ}=e^{i1320^\circ}$$
Aber Vorischt, die Werte sind zwar gleich, aber der Wert \(e^{i1320^\circ}\) hat drei Umdrehungen mehr hinter sich als \(e^{i240^\circ}\). Wenn du nun z.B. die Wurzel ziehst und den Exponenten einfach halbierst, wird es problematisch. Die beiden Punkte werden dadurch um die Hälfte ihrer bisherigen Umdrehungen zurückgedreht:$$\left(e^{i240^\circ}\right)^{\frac{1}{2}}\to e^{i120^\circ}\quad;\quad\left(e^{i1320^\circ}\right)^{\frac{1}{2}}\to e^{i660^\circ}$$
Und jetzt sind die Werte plötzlich nicht mehr gleich:$$e^{i120^\circ}=\cos120^\circ+i\,\sin120^\circ=-\frac{1}{2}+i\sqrt{3}{2}$$$$e^{i660^\circ}=\cos660^\circ+i\,\sin660^\circ=\frac{1}{2}-i\sqrt{3}{2}$$
Ohne dass du es wirklich gemerkt hast, stimmen nach dem Wurzelziehen die Vorzeichen nicht mehr überein. Daher meinte ich oben, dass die Werte nicht "identisch" sind. Die Zahl der Umdrehungen darf z.B. beim Wurzelziehen nicht einfach vernachlässigt werden.
