Aufgabe: Kann man a und b so wählen, dass f auf R stetig ist?

Question

Seien \( a, b \) reelle Zahlen. Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( f(x):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{4}-10 x^{2}+9}{x^{2}-4 x+3}, & \text { falls } x \neq 3 \text { und } x \neq 1 \\ a, & \text { falls } x=1 \\ b, & \text { falls } x=3 \end{array}\right. \)

Kann man a und b so wählen, dass f auf R stetig ist?

Answer 1

Polynomdivision von f ergibt:

$$\frac { { x }^{ 4 }-10{ x }^{ 2 }+9 }{ { x }^{ 2 }-4x+3 } ={ x }^{ 2 }+4x+3$$

für x ≠ 1 und x ≠ 3

Die Funktion f ( x ) kann daher dadurch stetig ergänzt werden, das man setzt:

a = 1 ² + 4 * 1 + 3 = 8, falls x = 1 

und

b = 3 ² + 4 * 3 + 3 = 24, falls x = 3