Ganzzahlige Lösungen für 3. Wurzel aus...

Question

Ist es möglich, für folgenden Term ganzzahlige Lösungen zu finden?

m und n sind ganzzahlig positiv.

y=³√(6m²n³+2n⁶)

Ich hab als erstes unter der Wurzel ausgeklammert:

y=³√((2n³)*(3m²+n²))

Dann hab ich schonmal die Wurzel soweit es ging gezogen:

y=n*³√(2*(3m²+n²))

Da das, was unter der Wurzel steht immer eine gerade Zahl ist, muss das Ergebnis ja auch gerade sein sofern es eine ganze Zahl wird. Angenommen es gibt so eine ganzzahlige Lösung, dann kann ich die 2 doch auch schon vor die Klammer ziehen (oder?):

y=2n*³√(1/4)(3m²+n²)

Und jetzt müsste doch y nur dann ganzzahlige Lösungen haben, wenn 3m²+n² durch 4 teilbar ist oder? Oder kann es auch sein, dass ³√((1/4)(3m²+n²)) zu etwas wird, was dann multipliziert mit 2n wieder eine ganze Zahl wird?

Bitte Hilfe...

Comments

Ich kann leider nicht beurteilen, ob du da noch etwas findest. Zudem weiss ich nicht, ob die Rubrik 'Integer root' m=n=0 schon zeigt, dass da nichts zu machen ist:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=is+%286m%5E2+n%5E3%2B2n%5E6%29+%5E%281%2F3%29+integer%3F

Meine Frage scheint WolframAlpha ja nicht zu verstehen.

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m=n=1 ist eine Lösung.

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Hi Lu, Danke

Ich hab vergessen zu erwähnen, dass m und n verschieden sein müssen. Es gibt vermutlich auch keine Lösungen. Aber wenn es eine geben soll, dann wohl nur, wenn m und n beide gerade oder beide ungerade sind, denn nur dann wird (3m²+n²) überhaupt gerade (und damit vielleicht durch 4 teilbar).

Für alle anderen Fälle, in denen nur einer von beiden gerade ist, könnte es dann aber schon gar keine Lösung geben...

Klingt das richtig? Oder ist die ganze Zerlegung oben schon ein Schritt in die falsche Richtung gewesen?

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Wenn der ursprüngliche Term richtig ist, dann hast du falsch ausgeklammert.

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Stimmt. Das Ausklammern war richtig. Stimmt statt n⁶ hat der ursprüngliche Term n⁵.

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Nachdem jetzt bereits zwei Fehler in deiner Angabe gefunden wurden wäre es wohl angebracht den exakten Wortlaut der AUfgabenstellung exakt wiederzugeben bevor hier such die Aufgabe gespielt wird.

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Hi, sorry wegen der Fehler. Ich habe hier 5 A4 Seiten Gleichungen vor mir. Die eigentliche Aufgabe ist weit länger, hier ist nur ein Teilproblem. Ich habe schon bewiesen, dass m und n nicht zur gleichen Zeit gerade/ungerade sein dürfen.

m und n und y müssen zudem verschieden sein und ganzzahlig positiv (nicht null).

y=³√(6m²n³+2n⁵)

y=³√((2n³)*(3m²+n²))

y=n*³√(2*(3m²+n²))

y=2n*³√(1/4)(3m²+n²)

Mit der Umformung ließe sich doch aber beweisen, dass y überhaupt nur ganzzahlig werden könnte, sofern m und n gleichzeitig gerade/ungerade sind. Denn nur dann wäre (3m²+n²) überhaupt gerade, was nötig ist, um dem (1/4) ansatzweise entgegenzuwirken und den Term unter der Wurzel ganzzahlig werden zu lassen.

Da m und n aber nicht gleichzeitig gerade/ungerade sein dürfen, wäre das dann der Widerspruch, der zeigen würde, dass es keine Lösungen gibt.

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Damit hast du jetzt wieder eine neue Information gebracht, dass m und n nicht gleichzeitig gerade/ungerade sind. Und damit hattest du es bereits bewiesen.