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Aufgabe: Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat in P(0/3) einen Hochpunkt und in Q (4/2) einen Wendepunkt. Gesucht ist die Funktionsgleichung


Problem/Ansatz: ich versteh die Aufgabe nicht, zu wenige Infos

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Du stellst erstmal die Allgemein Funktionsgleichung einer 3. Gradenrationalen Funktion also ax^3+bx^2+cx+d. Nun leistet du sie 2. Mal ab, also für die erste Ableitung dann 3ax^2+2bx+c und die zweite Ableitung kriegst du bestimmt selbst hin.

Das Ziel ist es jetzt a, b, c, d zu bestimmen. Wie machst du das? Naja du musst Bedingungen, die in deinem Text gegeben sind, herausfiltern um dann ein Gleichungssystem aufzustellen und das entsprechend zu lösen.

Ok, also wir haben vor unbekannte a, b, c, d also brauchen wir 4 Gleichungen die von den Variablen abhängen. Gut, dass heißt wir müssen jetzt 4 Informationen über unsere Funktion aus dem Text entnehmen.

1. Information: wir haben einen Punkt P(0/3). Ok Was können wir damit mavhen. Naja Wir wollen ja 4 Gleichungen haben die nur von a b c und d abhängen, also setzt du deinen Punkt in die Allgemein Funktionsgleichung ein und erhältst die 1. GLEICHUNG mit a*0^3+b*0^2+c*0+d=3 ok, daaa ist aber d=3

Versuche jetzt mal die restlichen 3 Gleichungen aufzustellen und dann das Gleichungssystem zu lösen.


Falls du Probleme hast, Frag.

Danke erstmal.

Also ich habe alles verstanden, aber wie löse ich jetzt die restlichen 3 Variablen?


Lg

1 Antwort

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Hallo,

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b\)

hat in P(0/3) einen Hochpunkt

liefert die Aussagen f(0) = 3 ⇒ d = 3

und f'(0) = 0 ⇒ c = 0

für die verbleibenden Koeffizienten a und b bleiben noch die Aussagen

f(4) = 2 und f''(4) = 0

Gruß, Silvia

Avatar von 40 k

Okay, danke. Das hat mir schon sehr viel geholfen.

Aber wie mache ich das weiter?

Ich verstehe wirklich nicht sehr viel in Mathe.

Also ich hab jetzt die 4 Bedingungen, aber wie bekomme ich jetzt die Gleichung hin?


LG

Du hast nur noch zwei Gleichungen, denn aus den ersten beiden Bedingungen ergab sich schon c = 0 und d = 3, also bleibt noch

\(f(x)=ax^3+bx^2+3\\f'(x)=3ax^2+2bx\\ f''(x)=6ax+2b\)

Wendepunkt bei (4 | 2)

f(4) = 2  ⇒ 64a + 16b = -1

f''(4) = 0 ⇒ 24a + 2b = 0

Kommst du jetzt alleine weiter?

Wieso verwende ich f“ und nicjz f‘?

Und ich hab die Gleichungen jetzt aufgeschrieben aber weiter komme ich jetzt nicht wirklich ...

Und warum wird bei der Gleichung f(x) am Ende -1?

Wie verknüpfe ich das?

Bei einem Wendepunkt mit f''(x) null sein. f'(x) = 0 ist die Bedingung für Extrempunkte.

\(f(4)=2\Rightarrow 64a+16b+3=2\Leftrightarrow 64a+16b=-1\)

Du könntest z.B. die zweite Gleichung nach b auflösen und in die erste einsetzen.

In welche Gleichung einsetzen?

Die mit 64a + 16b

Also ich hab’s jetzt eingesetzt und da kam jetzt -257/8 raus   Das ist dann a oder?

Mein Ergebnis für a ist \( \frac{1}{128} \). Rechne nochmal nach!

b = -12a, in die 1. Gleichung eingesetzt 64a +16•(-12a) = -1

Woher kommt das b=-12?

24a + 2b = 0

2b = -24a

b = -12a

Am Ende kommt jetzt als Funktion bei mir raus:


f(x)= 1/128x^3 - 12x^2 +0x + 3

Ist des so richtig?

a = \( \frac{1}{128} \)

b = -12a = -12 • \( \frac{1}{128} \) = -\( \frac{12}{128} \) = -\( \frac{3}{32} \)


\(f(x)=\frac{1}{128}x^3-\frac{3}{32}x^2+3\)

Ahhh omg ich danke dir so sehr!!


Also kann man einfach  a mal b rechnen oder hast du des irgendwo eingesetzt?

Nein, wir hatten ja

24a + 2b = 0

2b = -24a

b = -12a

für a wurde dann \( \frac{1}{128} \) eingesetzt.

Achso okay.

Ich danke dir !!

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