Aber ich habe ja jetzt keine Lösung für x3. Und wie kann ich das in die Gleichung für x2 und x1 einsetzen?

Question

Aufgabe:

Löse mit dem Gauß-Verfahren:

1. -2x₁+2x₂-3x₃=0

2. 2x₁-4x₂+8x₃=-12

3. -3x₁+4x₂-7x₃=6

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst x₃ berechnet aber da habe ich als Gleichung dann x₃*0=0 rausbekommen.

Aber ich habe ja jetzt keine Lösung für x₃. Und wie kann ich das in die Gleichung für x₂ und x₁ einsetzen?

Comments

Hallo,

das bedeutet, dass das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung hat, sondern unendlich viele. Die Variable \(x_3\) kann beliebig gewählt werden. Um alle Lösungen zu berechnen setzt Du \(x_3=s\), wobei \(s\) eine beliebige reelle Zahl ist und berechnest damit \(x_2\) und \(x_1\) in Abhängigkeit von s.

Gruß

Answer 1

Aloha :)

$$\begin{array}{rrr|r|l}x_1 & x_2 & x_3 & = & \text{Aktion}\\\hline-2 & 2 & -3 & 0 &+\text{Zeile 2}\\2 & -4 & 8 & -12 &:\,2 \\-3 & 4 & -7 & 6 &\\\hline0 & -2 & 5 & -12 &\\1 & -2 & 4 & -6 & \\-3 & 4 & -7 & 6 &+3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline0 & -2 & 5 & -12 &:\,(-2)\\1 & -2 & 4 & -6 &-\text{Zeile 1} \\0 & -2 & 5 & -12 &-\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & -2,5 & 6 &\Rightarrow x_2-2,5x_3=6\\1 & 0 & -1 & 6 &\Rightarrow x_1-x_3=6 \\0 & 0 & 0 & 0 &\text{immer erfüllt}\\\hline\hline\end{array}$$Wir haben unendlich viele Lösungen gefunden:$$\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6+x_3\\6+2,5x_3\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6\\6\\0\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{r}1\\2,5\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}6\\6\\0\end{array}\right)+\frac{x_3}{2}\left(\begin{array}{r}2\\5\\2\end{array}\right)$$

Answer 2

1. -2x1+2x2-3x3=0
2. 2x1-4x2+8x3=-12
3. -3x1+4x2-7x3=6

etwas übersichtlicher

 -2a +2b -3c =0
2a -4b +8c =-12
-3a +4b -7c =6

3 Gleichungen mit 3 Unbekannten sollte lösbar sein

Additionsverfahren
-2a +2b -3c =0
2a -4b +8c =-12  | addieren
--------------------
2b + (-4b) -3c + 8c = 0 + 12
-2b + 5c = 12

2a -4b +8c =-12  | * 3
-3a +4b -7c = 6  | * 2
--------------------
6a - 12b + 24c = 36
-6a + 8b - 14c = 12  | addieren
-------------------------
-12b + 8b + 24 c - 14 c = 48
-4b + 10c = 48

-2b + 5c = 12  | * 2
-4b + 10c = 48
------------------
-4b + 10c = 24
-4b + 10c = 48  | abziehen
-------------------

nicht lösbar.

Stimmen deine Ausgangsgleichung ?
Bitte überprüfen.

Comments

Ja die Ausgangsgleichungen stimmen, okay dann ist nicht lösbar habe mich da bereits gewundert. Danke dir

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Hallo Fragesteller,

Du musst Dir unbedingt angewöhnen, Beiträge kritisch zu prüfen.

Nur mal zur Anregung: Eine Lösung des Gleichungssystems ist (6,6,0).´

Gruß

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okay ich dachte ich wäre richtig gewesen und war mir da zu sicher. Aber warum ist es 0? Ich habe das mit dem Gaußverfahren gerechnet und bei der letzten Zeile stand x3: 0=0 also wenn man das ausrechnet wäre es x3*0=0. ich bin etwas verwirrt gerade

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Bei meiner Rechnung kommt heraus
-4b + 10c = 24
-4b + 10c = 48
Beide Aussagen zusammen können
nicht stimmen.
Wer sieht einen Fehler ?

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Hallo Georg,

-2b + 5c = 12

hier müsste es sein: -2b + 5c = -12

Gruß

Smitty

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Danke für den Hinweis Smitty,

Korrektur
Additionsverfahren
-2a +2b -3c =0
2a -4b +8c =-12  | addieren
--------------------
2b + (-4b) -3c + 8c = 0 - 12
-2b + 5c = -12

2a -4b +8c =-12  | * 3
-3a +4b -7c = 6  | * 2
--------------------
6a - 12b + 24c = 36
-6a + 8b - 14c = 12  | addieren
-------------------------
-12b + 8b + 24 c - 14 c = 48
-4b + 10c = 48

-2b + 5c = -12  | * 2
-4b + 10c = 48
------------------
-4b + 10c = -24
-4b + 10c = 48  | abziehen
-------------------

Ich merke gerade, ich komme trotzdem
nicht weiter.

---

Kein Problem:

6a - 12b + 24c = -36

Dann müsste es passen.

Dann kommt

-4b + 10c = -24
-4b + 10c = -24

heraus.

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Korrektur II
Additionsverfahren
-2a +2b -3c =0
2a -4b +8c =-12  | addieren
--------------------
2b + (-4b) -3c + 8c = 0 - 12
-2b + 5c = -12

2a -4b +8c =-12  | * 3
-3a +4b -7c = 6  | * 2
--------------------
6a - 12b + 24c = minus 36
-6a + 8b - 14c = 12  | addieren
-------------------------
-12b + 8b + 24 c - 14 c = -24
-4b + 10c = -24

-2b + 5c = -12  | * 2
-4b + 10c = -24
------------------
-4b + 10c = -24
-4b + 10c = -24
-------------------

Eine wahre Aussage
Smitty, wie führt mich das zu einer
Lösung ?

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-4b + 10c =-24

b=6+2,5c

jetzt in eine Gleichung einsetzen:

-2a +2b -3c =0

-2a + 2* (6+2,5c) -3c = 0

-2a -3c +12 +5c =0

-2a=-12-2c

a=6+c

Damit hast du a und b in Abhängigkeit von c, denn c ist frei wählbar. (vgl. Tschakabumba)

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Allgemein finde ich es aber übersichtlicher und einfacher, es mit dem Gaußverfahren und in Matrixschreibweise zu lösen.

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Hab ich nicht gelernt.
Ich danke dir.

Answer 3

-2x1+2x2-3x3=0
 2x1-4x2+8x3=-12
-3x1+4x2-7x3=6

I.+II. Gleichung: = IV

0x1- 2x2+5x3=-12

I*3   -6x1+6x2-9x3=0

-III*2 -6x1+8x2-14x3=12

=V: -2x2+5x3=-12

IV -V: 0=0, .d.h. du hast unendlich viele Lösungen