Funktionenschar: Ortskurve für Punkte mit waagerechter Tangente bestimmen

Question

Aufgabe:

Es ist eine Funktionenschar f mit f_t(x) = (x²+t-1)*e^x gegeben.

a) Die Anzahl der Punkte mit waagerechter Tangente von den Graphen von f in Abhängigkeit von t soll bestimmt werden.

b) Die Kurve der Punkte mit waagerechter Tangente für alle Werte von t soll bestimmt werden.

Ansatz:

Ich habe erstmal die Ableitung von f_t gebildet: f'_t (x) = e^x * (x² + 2x +t -1) und das gleich 0 gesetzt, um die Punkte für die waagerechten Tangenten herauszufinden. Da kommt dann bei mir x_1/2 = -1 +/- \( \sqrt{2-t} \) raus.

Bei b soll ja die Ortskurve berechnet werden, also habe ich die x-Werte in f_t eingesetzt, um den y-Wert herauszufinden. Wie man eine Ortskurve bestimmt, ist mir klar (x = x-Koordinate, nach t auflösen und dann in y-Koordinate einsetzen), nur ist mein Ergebnis so lang und kompliziert, dass ich einen Fehler in meinem Ansatz vermute.

Mein derzeitiges Ergebnis: O(x) = (x² + 4x + 6 - \( \sqrt{x^2  +4x+5} \) )* e^{-1+\( \sqrt{x^2  +4x+5} \)}

Die Frage ist also, ob mein Fehler im Ansatz liegt oder ich mich einfach verrechnet habe bzw. nicht vereinfacht habe. Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

Deine Nullstellen der ersten Ableitung sind richtig: x = - √(2 - t) - 1 x = √(2 - t) - 1

a) Die Anzahl der Punkte mit waagerechter Tangente ist füt t=2 genau einer, für t>2 keiner und sonst zwei.

Bei b soll ja die Ortskurve berechnet werden. Also löst man die genannten Gleichungen nach t auf und setzt in f_t ein: t=1-x²-2x. Dann ist g(x)=-2x·e^x die Funktionsgleichung der Ortskurve.

Answer 2

Hallo,

Die Ableitung $$f'_t(x) = (x^{2}+2x+t-1)\cdot e^{x}$$ und die Lösung $$x_e = -1 \pm \sqrt{2-t}$$ für die Punkte mit waagerechter Tangente ist richtig.

Wie man eine Ortskurve bestimmt, ist mir klar (x = x-Koordinate, nach t auflösen und dann in y-Koordinate einsetzen),

ist auch richtig. Das erklärt aber nicht Dein Ergebnis. Meine Rechnung ist: aus $$x_e = -1 \pm \sqrt{2-t}$$folgt$$\begin{aligned} t &= 2-(x_e+1)^2 \\ f(x_e) &= (x_e^{2}+2-(x_e+1)^2-1)\cdot e^{x_e} \\ &= -2x_e\cdot e^{x_e} \end{aligned}$$ Das sieht in Desmos so aus:

https://www.desmos.com/calculator/yf7brubgwu

Answer 3

t = 2 - ( x + 1)^2
f =  (x^ 2+t-1)*e^x
t in f einsetzen
g ( x ) = -2*x * e(^x)