Grenzwert über Riemannsummen

Question

Berechnen Sie \( \int\limits_{b}^{a} \) cx dx, worin a, b, c ∈ R und a < b. Bilden Sie hierfür den Grenzwert über die Riemannsummen bei einer gleichmäßigen Intervalleinteilung.

Kann mir hierbei jemand einen Gedankenanstoß geben?:)

Answer 1

Hallo,

ich geh mal davon aus, dass die untere Intervallgrenze a heißt ( weil a < b sein soll, ansonsten ist das Vorzeichen der Lösung halt vertauscht)

\(S_n=\sum_{k=0}^{n-1} \limits f(x_k)\Delta x_k =\sum_{k=0}^{n-1} \limits c[a+(b-a)\frac{k}{n}]\cdot \frac{(b-a)}{n}\\= c\frac{(b-a)}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \limits [a+(b-a)\frac{k}{n}]=c\frac{(b-a)}{n}[\sum_{k=0}^{n-1} \limits a+\frac{(b-a)}{n}\sum \limits_{k=0}^{n-1}k]\\ =c\frac{(b-a)}{n}[na +(b-a)\frac{1}{2}(n-1)]=c(b-a)[a +(b-a)\frac{1}{2}(n-1)/n] \\ \int \limits_{a}^{b}cxdx=\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits_{n\to\infty}c(b-a)[a +(b-a)\frac{1}{2}(n-1)/n]\\ =c(b-a)[a+\frac{1}{2}(b-a)]=\frac{1}{2}c(b^2-a^2)\)

Comments

Kannst du vielleicht kurz erklären wie du auf den ersten Schritt kommst? Also

\( \sum\limits_{k=0}^{n-1} \) c (a + (b-a) \( \frac{k}{n} \) )

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Das ist f(x_k). Die Stütztstellen sind bei gleichmäßiger Intervallteilung

x_k = a+ (b-a)*k/n

( a = Startpunkt, dann wird k-fach die Intervallbreite (b-a)/n draufaddiert m zur kten Stützselle zu kommen.)

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Hey ich hab noch eine Frage: wie kommt man auf den Schritt

c \( \frac{b-a}{n} \) [ \( \sum\limits_{k=0}^{n-1} \) a + \( \frac{b-a}{n} \) \( \sum\limits_{k=0}^{n-1} \) k ] = c \( \frac{b-a}{n} \) [na+(b−a) \( \frac{1}{2} \) (n−1)] ?

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Das ist die Gauß-Summenformel.