Für welche Werte von t hat der Graph der Funktion ft mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse bzw mindestens …

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von t hat der Graph der Funktion f_t mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achse bzw. mindestens einen Hoch-oder Tiefpunkt?

a) f_t(x) = x*(x-t)

b) f_t(x) = t·x² -x-1

c) f_t(x) = x^4−2x²+t

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß nicht so richtig wie ich das lösen soll. Muss ich ganz normal die Extrempunkte berechnen? Oder muss ich irgendwas für t einsetzen? Oder t=0?

Danke

Answer 1

Wenn es um Extrempunkte geht, ist der Versuch, Extrempunkte zu berechnen, sicher nicht abwegig.

Answer 2

b) f(x) = t·x² - x - 1

Nullstellen:

t • x^2 - x - 1=0

t • x^2 - x =1 | : t

x^2 - \( \frac{1}{t} \) x =\( \frac{1}{t} \)

( x - \( \frac{1}{2t} \))^2 = \( \frac{1}{t} \) +\( \frac{1}{4t^2} \) =\( \frac{4t+1}{4t^2} \)

x₁=  \( \frac{1}{2t} \)+\( \frac{1}{2t} \)•\( \sqrt{4t+1} \)

x₂=\( \frac{1}{2t} \)-\( \frac{1}{2t} \)•\( \sqrt{4t+1} \)

Diskriminante =0  gibt eine Nullstelle  :   (    Hochpunkt)

4t+1=0  → t = -\( \frac{1}{4} \)

4t+1>0    → t >- \( \frac{1}{4} \)    ergibt 2 Nullstellen,  aber für t=0  gibt es eine Gerade , für t=\( \frac{1}{4} \) ist dort nur eine Nullstelle, ist ein Tiefpunkt.

1.)  t= -\( \frac{1}{4} \)   N(-2|0)

f(x) = -\( \frac{1}{4} \)*x^2 - x - 1  in grün gezeichnet

2.) t= - \( \frac{1}{8} \)

g(x)= -\( \frac{1}{8} \)*x^2 - x - 1   in blau gezeichnet

Comments

für t=\( \frac{1}{4} \) ist dort nur eine Nullstelle, ist ein Tiefpunkt.

Das stimmt nicht!