Konvergiert diese Reihe?

Question

Hallo,

ich möchte wissen, ob dieser Reihe konvergiert oder nicht.

\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1/n)^n \)

Ich habe direkt das Wurzelkriterium angewendet und habe nachgewiesen, dass die Reihe nicht konvergiert. Leider wurde das Wurzelkriterium in der Vorlesung nicht verwendet. Also ich soll ein anderes Kriterium verwenden. Wie gehe ich vor?

vielen Dank im voraus

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{n}\right)^n=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot\frac{1}{n^n}$$Da \(\frac{1}{n^n}\) eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

Mit dem Wirzelkriterum:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0<1\quad\checkmark$$kannst du nachweisen, dass die nicht-alternierende Reihe konvergiert.

Comments

Vielen Dank für die Erklärung!

Answer 2

Hallo,

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)^{n}=-0.783431 \)

Die Reihe konvergiert also.

Betrachte die Teilfolgen mit geradem n und mit ungeradem n. Beide konvergieren. Die gegebene Folge konvergiert gegen die Summe beider Grenzwerte.

Such mal nach Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen.

:-)