Warum konvergiert diese Reihe?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( 4 \sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \)
\( 0 \cdot \sum \limits_{n=0}^{\infty} 1^{n}= \)

Problem/Ansatz:

Laut Lösungen soll die obere Reihe divergieren und die untere soll konvergieren. Ich verstehe jedoch nicht warum. Bei einer geometrischen Reihe ist doch wenn der Betrag von q kleiner 1 ist. Aber bei beiden ist q größergleich 1. Dann müssten doch auch beide Folgen divergieren. Oder liegt es daran, dass bei der unteren Reihe mit 0 multipliziert wird?

Answer 1

Eine Reihe ist die Folge ihrer Partialsummen,
bei der unteren also die Folge \((s_n)_n\) mit \(s_n=0\cdot \sum_{k=0}^n 1^k=0\).
Die Aufgabe ist sehr spitzfindig. Sie soll wohl
dazu dienen, die Definition von Reihen zu verdeutlichen.

Comments

Das Multiplikationszeichen steht doch zwischen reellen Zahlen. In der zweiten Aufgabe ist der zweite "Faktor" aber keine reelle Zahl. Ohne vorherige Definitionserweiterung von " • " ist deine Antwort für mich unverständlich.

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Wenn \((a_n)_n\) eine reelle Folge ist, dann ist für eine

reelle Zahl \(c\) die Folge \(c\cdot(a_n)_n\) definitionsgemäß die

Folge \((ca_n)_n\)

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Das ist irrelevant, denn hier geht es darum, ob   c·lim a_n   =  lim (c·a_n)    ist, obwohl lim a_n gar nicht existiert.

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Sehe ich auch so.

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Nein, darum geht es nicht.

Das Symbol \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) steht für die Folge

der Partialsummen. WENN diese konvergiert, bezeichnet

es zusätzlich deren Wert (also den Limes).

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Das Symbol \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\)steht für die Folge der Partialsummen

Gegenauffassung :  das Symbol steht für ihren Grenzwert.

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Und wie bezeichnet man dann die Reihe? Und was ist dann

überhaupt eine Reihe?

Existiert also die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} 1\) gar nicht ?

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So wie hj2166 sieht es Wikipedia auch. Ist natürlich die

dollste Quelle.

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@ e : Wenn du Recht hättest, wäre die Lösung der zweiten Aufgabe die Folge 0,0,0,0,... aber nicht die Zahl 0.

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Nein; denn die Folge 0,0,0,... konvergiert und in diesem Falle

steht das Symbol auch für den Grenzwert.

Habt ihr ein anderes Wikipedia als ich ?

Und hier nochmal meine Frage:

existiert die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty} 1\) oder nicht?

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Der Wikipedia-Artikel sagt es deutlich:

https://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik

Das ist das Verständnis der Summensymbolik

seit mindestens 100 Jahren (Knopp: Theorie und Anwendung der

unendlichen Reihen, 1921). Siehe z.B. auch Königsberger: Analysis 1: S. 57.

Darüber gibt es keine zwei adäquaten Meinungen.

Die richtige Deutung von \(\sum a_n\) ist natürlich kontextabhängig.

Nun wird in der Aufgabe explizit von der

Reihe \(0\cdot \sum 1^n\) gesprochen und da die Folgen einen

\(\mathbb{R}\)-Vektorraum bilden, ist damit natürlicherweise

die Multiplikation des Vektors \((s_n)_n\) mit dem Skalar 0

gemeint.

Answer 2

Die Reihen sind doch die Terme hinter dem Faktor

4 bzw. 0. Diese Reihen konvergieren m.E.

beide nicht.

Comments

Ja das dachte ich auch. In den Lösungen steht es aber anders

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Die Reihen sind doch die Terme hinter dem Faktor

4 bzw. 0.

Das sehe ich nicht so. Siehe meine Antwort.