Herleitung des Isomorphismus zwischen Vektorraum der Pfeilklassen und dem Koordinatenraum r^3

Question

Liebe Lounge,

ich befasse mich intensiv mit dem Begriff des Vektorraums.

Insbesondere geht es mir momentan darum, den Isomorphismus zwischen dem Koordinatenraum R^3 und der Pfeilklassen im dreidimensionalen Raum zu beweisen.

Dieser ist es ja, den man benötigt, um z.B. eine Addition zweier Pfeilklassen (durch Hintereinanderlegen der Pfeile) arithmetisch im Koordinatenraum zu "berechnen".

Korrekt?

Wie kann ich denn nun zeigen, dass dieser Isomorphismus zwischen den beiden Vektorräumen existiert?

Answer 1

Repräsentiere jede Pfeilklasse k ∈ K durch den Pfeil, der vom

0-Punkt zu einem Punkt P(x;y;z) führt. s.g. "Ortsvektor"

Dann ist die Abbildung F : K → ℝ^3   k↦(x;y;z)

der Isomorphismus.

Comments

Muss man jetzt nicht zeigen, dass die Abbildung linear und bijektiv ist?

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Ja genau, dazu musst du natürlich die Definition

von Addition und S-Multiplikation bei den Pfeilklassen

vernünftig definieren.

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Ok. Und ich muss jetzt nochmal ganz blöd fragen:

Gilt die gleiche Abbildung auch von R^3 → K? Da sie bijektiv ist? Oder ist das ein ANDERER Isomorphismus?

Ergänzung: Wenn F ein Isomorphismus ist, so ist auch seine Umkehrung einer.

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Könntest du mir bitte helfen bei der Definition und dem Nachweis? Bin etwas aufgeschmissen.