Es sind
\( V=\left\{\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{3} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\} \)
und
\( W=\left\{\left(\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{array}\right) \in \mathbb{Q}^{4} \mid y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}=0\right\} \)
Untervektorräume von \( \mathbb{Q}^{3} \) bzw. \( \mathbb{Q}^{4} \) mit Basen
\( \mathcal{A}=\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right) \)
bzw.
\( \mathcal{B}=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right)=\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)\right) \)
(dies müssen Sie nicht zeigen).
(i) Zeigen Sie, dass durch die Vorschrift
\( \left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}-x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}-x_{3} \\ -x_{1}-x_{2} \\ -6 x_{1}-2 x_{3} \end{array}\right) \)
eine lineare Abbildung \( \varphi: V \rightarrow W \) definiert ist und bestimmen Sie \( M_{\mathcal{B}}^{A}(\varphi) \).
(ii) Bestimmen Sie umgekehrt die Vorschrift für eine lineare Abbildung \( \psi: V \rightarrow \) \( W \) mit
\( M_{\mathcal{B}}^{\boldsymbol{A}}(\psi)=\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 3 & 5 \end{array}\right) \)
