Rang der Koeffizientenmatrix bestimmen aus linearer Hülle?

Question

Wenn ich nur dir Lineare Hülle mit 4 unabhängigen Vektoren gegeben hab (x1,...,x4) ist dann der Rang der Koeffizienten Matrix = 0 ??
x1,..,x4 sind Vektoren
Beispiel: U= L( (x1), (x2),(x3),(x4) )

Dimensionssatz: dim(U)=n-rang(A)
4=4-0
rang(A)=0??

Answer 1

Wenn ich nur dir Lineare Hülle mit 4 unabhängigen Vektoren gegeben hab (x1,...,x4) ist dann der Rang der Koeffizienten Matrix = 0 ??

Meinst du A:= (x1,x2,x3,x4) mit den 4 unabh. Spaltenvektoren?
Dann ist Rang(A) = 4

x1,..,x4 sind Vektoren
Beispiel: U= L( (x1), (x2),(x3),(x4) )           |Du meinst U ist die Lineare Hülle dieser Vektoren?

Dann gilt DimU=4

Dimensionssatz: dim(U)=n-rang(A)
                                4=4-0
                                 rang(A)=0??

Dim(U) ist in diesem Satz der eher die Dimension des Kerns der Abbildung. Kern von Abbildung mit deiner Matrix A ist der Nullvektor. Dim des Kerns ist daher 0.

Comments

Ja es sind nur  4 unabhängige Spaltenvektoren in Form der Lineare Hülle gegeben. Anders ausgedrückt:
U= L( v₁,v₂,v₃,v₄ )
mit Vektor v₁,...,v₄ = (x₁,x₂,x₃,x₄)^T

Dim(U) ist in diesem Satz der eher die Dimension des Kerns der Abbildung. Kern von Abbildung mit deiner Matrix A ist der Nullvektor. Dim des Kerns ist daher 0.

ist also die Dimension von U gleich Kern(A) = 0?

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ist also die Dimension von (U = Kern(A)) = 0?

Das ist mE richtig. Allerdings hattest du ja U schon anders definiert. Nenn den Kern besser V.