Erste Ableitung Wurzel

Question

Aufgabe: Extremstellen ausrechnen (brauche aber nur die Ableitung)

Problem/Ansatz:

Halloo

es geht um folgende Funktion

x^2+\( \sqrt{2-x^2} \)

die zweite Ableitung bzw. den Rechenweg hab ich verstanden, aber zu der ersten Ableitung kann ich nicht verstehen warum \( \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} \) rauskommt... könnte mir vielleicht jemand einen einfachen Lösungsweg erklären und skizzieren? ich bin echt vorm verzweifeln..

Answer 1

Aloha :)

Zum Ableiten der Wurzelfunktion in$$f(x)=x^2+\sqrt{2-x^2}$$hilft die Kettenregel weiter:$$f'(x)=2x+\underbrace{\frac{1}{2\sqrt{2-x^2}}}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{(-2x)}_{=\text{innere Abl.}}=2x-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}$$

Beachte bitte, dass \(\left(\sqrt{x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt x}\).

Comments

vielen Dank, also wird die 2 weggekürzt und das x dann oberhalb des Bruches notiert? Wir die erste Ableitung bei Wurzeln immer so berechnet? Gibt es da vielleicht irgendwelche Tips und Tricks?

---

Die Ableitung einer Wurzelfunktion sieht immer so aus:$$\left(\sqrt{f(x)}\right)'=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$$

Für den Zähler leitest du das ab, was unter der Wurzel steht. In den Nenner kommt einfach die doppelte Wurzelfunktion rein.

Hier bei der Aufgabe hatten wir Glück, dass im Zähler auch eine \(2\) stand, die wir dann mit der \(2\) aus dem Nenner kürzen konnten.