Warum steht vor dem Summationszeichen ein (1/2) und im Zähler n?

Question

Hallo,

man soll ein Summenausdruck vereinfachen. Für n∈N gilt \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{k} \) =  \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{(n+1-k)} \) und damit ist

\( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{k} \) = (1/2) ( \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{k} \) +  \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{(n+1-k)} \)) = (1/2) \( \sum\limits_{k=1}^{\{n}{(n+1)} \) = n(n+1)/2

Meine zwei Fragen:

1. Frage: Warum steht vor den beiden Sigmas ein (1/2) ?

2. Frage: Ganze am Ende steht der Quotient n(n+1)/2, aber wenn ich (n+1) mit dem Bruch 1/2 multipliziere, müsste es nicht eigentlich dann  (n+1)/2 heißen ? Warum steht dann im Zähler ein zusätzliches n ?

Comments

1/2 weil ja die beiden Summen gleich sind, dass heißt aber dass du eine der beiden summen in der klammer z.b. Die mit n+1-k durch die Summe nur mit k ersetzen kannst, dann hast du aber die Summe mit k + die summe mit k ist 2* die summe mit k, also schreibt man 1/2 damit du natürlich nur einmal die Summe mit k hast :)

Ach und der Letze teil stimmt so, weil 1/2 bleibt stehen und da die summe mit n+1 nicht von k abhängt wird einfach, da die summe bis n geht, n+1 mit n multipliziert und dann noch das 1/2 übernehmen.

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Habe es verstanden. Super, danke !

Answer 1

Wenn a=b ist, gilt 2a=a+b und deshalb a=1/2 *(a+b).

(n+1)+(n+1)+...+(n+1)=n*(n+1)

:-)