Gemeinsame Punkte von Gerade und Ebenen

Question

Aufgabe:

a)Untersuchen Sie,ob die Gerade g und die Ebene E gemeinsame Punkte haben.

(1)g:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\-2\\4 \end{pmatrix} \)+r*\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

E:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 4\\-1\\3 \end{pmatrix} \)+s*\( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \)+t*\( \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} \)

(2) g geht durch A(1|-6|-3) und hat den Richtungsvektor \( \vec{v} \)= \( \begin{pmatrix} 0\\-3\\-1 \end{pmatrix} \)

E:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\3\\2 \end{pmatrix} \)+s\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \) + t\( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

(3) g geht durch A(2|-3|5) und hat den Richtungsvektor \( \vec{v} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\-1\\-3 \end{pmatrix} \)

E:\( \vec{x} \)=\( \begin{pmatrix} 2\\-3\\5 \end{pmatrix} \)+r*\( \begin{pmatrix} 12\\-3\\5 \end{pmatrix} \)+s*\( \begin{pmatrix} 2\\-3\\4 \end{pmatrix} \)

b) Warum muss man bei (4) aus Teilaufgabe a)nicht rechnen ?
Problem/Ansatz:

Bei (1) hab ich r=-6; s=-1; t=3 raus somit schneidet g die Ebene E im Punkt S(4|1|1).

Bei (2) und bei (3) habe ich raus, dass das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat. Allerdings bin ich mir hierbei nicht sicher und bei b) weiß die Antwort leider nicht.

:)

Comments

b) nennt Teilaufgabe (4) aus a). Wo steht die?

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Dein Ergebnis zu a)(1) erfüllt die Probe nicht, was leicht im Kopf nachgerechnet werden kann. Du wirst also wohl einen Rechenfehler drin haben.

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>  r=-6; s=-1; t=3 raus somit schneidet g die Ebene E im Punkt S(4|1|1).<

Das würde mich wundern ..
wie Du auf (-1,-2,4) - 6 (1,0,1) = (4,1,1) kommst?

bei (1) und (2) g || E. Du solltest Deine "Lösungen" auch überprüfen...

Bei (3) ist der Schnittpunkt gegeben.

b) ist nicht zu beantworten da kein (4)

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b) hab mich verschrieben, meine (3) und nicht (4)

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Also bei (1) und (2) ist g parallel zu E und liegt nicht in E?

Und ist der Schnittpunkt bei (3) dann Punkt A ?

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Ja, denn der liegt ja in der ebene und auf der Geraden

lul

Answer 1

1)

[4, -1, 3] + r·[2, 1, -1] + s·[3, 1, 0] = [-1, -2, 4] + t·[1, 0, 1] → Keine Lösung und damit liegt die Gerade parallel zur Ebene.

2)

[-1, 3, 2] + r·[1, -1, 0] + s·[2, 1, 1] = [1, -6, -3] + t·[0, -3, -1] --> Keine Lösung und damit liegt die Gerade parallel zur Ebene.

3)

[2, -3, 5] + r·[12, -3, 5] + s·[2, -3, 4] = [2, -3, 5] + t·[4, -1, -3] --> r = 0 ∧ s = 0 ∧ t = 0 und damit schneiden sich die Ebene und Gerade bei [2, -3, 5].