Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Löse zunächst die homogene DGL:
$$\left.\tau\cdot\frac{du_0}{dt}+u_0=0\quad\right|-u_0$$$$\left.\tau\cdot\frac{du_0}{dt}=-u_0\quad\right|\cdot dt$$$$\left.\tau\cdot du_0=-u_0\,dt\quad\right|:\,u_0$$$$\left.\tau\cdot \frac{du_0}{u_0}=-dt\quad\right|\text{beide Seiten unabhängig voneiandner integrieren}$$$$\left.\tau\cdot (\ln|u_0|+c_1)=-t+c_2\quad\right|\text{links ausrechnen}$$$$\left.\tau\cdot \ln|u_0|+\tau\cdot c_1=-t+c_2\quad\right|-\tau\cdot c_1$$$$\left.\tau\cdot \ln|u_0|=-t+c_2-\tau\cdot c_1\quad\right|:\,\tau$$$$\left.\ln|u_0|=-\frac{t}{\tau}+\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}\quad\right|\cdot e^{\cdots}$$$$\left.|u_0|=e^{-\frac{t}{\tau}+\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}}=e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot e^{\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}}\quad\right|c_0\coloneqq e^{\frac{c_2-\tau\cdot c_1}{\tau}}=\text{const}$$$$u_0(t)=c_0\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}=c_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$
Zur Lösung der inhomogenen DGL benötigen wir noch eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. Man erkennt sofort, dass \(u_s(t)=U_0\) eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL ist. Daher können wir nun die allgemeine Lösung angeben:$$u(t)=u_s(t)+u_0(t)=U_0+c_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}$$
