Regel von L'Hospital

Question

Aufgabe:

Regel von L'Hospital

Problem/Ansatz:

Hallo, gegeben ist folgender Term:

\( \frac{sinh^2(7x^4)sin(3x^4)}{(cosh(4x)-1)tan²(9x^5)} \)

Nun soll man den Grenzwert mit der Regel von L'Hospital berechnen, wenn x->0. Nur komme ich da nicht weiter, weil die Ableitungen von Zähler und Nenner auch immer 0 liefern für x=0?

Comments

weil die Ableitungen von Zähler und Nenner auch immer 0 liefern für x=0?

Hallo,

das kann passieren. Man muss dann die lH-Regel ein zweites, vielleicht ein drittes mal anwenden ....

Bei einem vordergründigen Blick auf die Aufgabe, frage ich mich ob diese Aufgabe unbedingt mit der lH-Regel bearbeitet werden muss. Alternative wäre der Ansatz mit Potenzreihen.

Gruß

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Hallo, danke, aber leider dürfen wir noch keine Potenzreihen anwenden.

Der Vorschlag des Prof. war, den Bruch so auseinanderzubrechen, dass bekannte Grenzwerte entstehen, z. B. sin(x)/x -> 1 wenn x->0 usw. ??

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Damit kommst Du dann auf das Ergebnis von rumar oder?

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ja, danke, habs jetzt rausbekommen!

Answer 1

Wie MathePeter schon gemeldet hat, geht das auch ohne Hospitalisierung, da alle vorkommenden Teilfunktionen sich in der Umgebung von x=0 sehr einfach verhalten. Man braucht von den Taylorentwicklungen praktisch nur das allererste Glied.

Das Ergebnis  \( \frac{49}{216} \) habe ich übrigens von Hand auf einem Zettel fast schneller ermittelt als dann mit meinem CAS-Rechner, weil das Eintippen des Funktionsterms doch recht umständlich war und auch die Rechnung etwa eine halbe Minute dauerte ...

Ich habe mich auf folgende Kenntnisse gestützt:  In der Umgebung von x = 0 gilt :

sin(x) ~ x ;  tan(x) ~ x  ;  sinh(x) ~ x ;  cosh(x) ~ 1 + x² / 2