Winkel berechnen in Prisma

Question

Aufgabe:

habe wieder eine Geometrie-Aufgabe in Mathe, zu der es eigentlich eine Lösung gibt, aber sitze schon seit einer Stunde dran und verstehe nicht, wie der eine Winkel in Teilaufgabe 10.4 berechnet wird.

Die Grundfläche eines geraden Prismas ist das gleichseitige Dreieck ABC mit 6 cm Seitenlänge. Die Höhe des Prismas beträgt 4\√3 cm. Dem Prisma ist eine Pyramide ABCD einbeschrieben.

10.1 Zeichnen Sie ein Schrägbild des Prismas und der einbeschriebenen Pyramide. Berechnen Sie V_Prisma. Es gilt: Schrägbildachse AM; M ist der Mittelpunkt der Seite [BC]: q= 2/3; ω=60°.

10.2 Welchen Bruchteil des Volumens des Prismas hat die Pyramide ABCD?

10.3 Berechnen Sie das Maß α des Neigungswinkels DBA der Strecke [BD] zur Grundfläche ABC.

10.4 Berechnen Sie das Maß ε des Neigungswinkels DMA der Pyramidenfläche BCD zur Grundfläche ABC.

10.5 Das Lot vom Punkt A auf die Strecke [MD] schneidet diese im Punkt T. Zeichnen Sie die Strecke [AT] in das Schrägbild ein und berechnen Sie ihre länge.

10.6 Berechnen Sie die Länge TG.

Problem/Ansatz:

Wie gesagt, die Lösungen habe ich alle, hier die Lösung von Teilaufgabe 10.3 und 10.4

10.3 tanα=(4/√3)/6; α=49,1°

10.4 tanε=(4/√3)/(3√3); ε=53,1°

Meine Frage ist nun, wie kommt man rechnerisch auf die Zahl 3√3 bei der Teilaufgabe 10.4? Anbei die Abbildung.

Vielen Dank im Voraus und schöne Grüße, David

P.S.: das Hochladen vom Bild hat leider schon wieder nicht funktioniert...

Comments

Kennst du das Snipping Tool unter Windows 10? Damit kannst du das Bild ausschneiden und in der Aufgabenstellung einfügen.

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Super, besten Dank für den Hinweis, jetzt hat es endlich Mal mit dem Einfügen von Bild geklappt! :)

Answer 1

Hallo

der Winkel der Seite ist der der Höhe des Seiten- Dreiecks  zur Höhe im gleichseitigen Dreieck unten , die Höhe geht von der Mitte AB nach D,

Gruß lul

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort, könnten Sie bitte mir trotzdem das noch mit Zahlen erklären? Die Hälfte der Seite AB=3 cm und die Höhe ist 4√3, wie komme ich auf 3√3 bitte, verstehe ich leider immer noch nicht. Tausend Dank!

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Die Hälfte der Seite AB=3 cm und die Höhe ist 4√3, wie komme ich auf 3√3 bitte, verstehe ich leider immer noch nicht.

Der Schnitt der Ebene $AMD$ sieht so aus:

Wenn man davon ausgeht, dass die Pyramde regelmäßig ist, dann liegt die Spitze $D$ genau über dem Mittelpunkt (bzw. Schwerpunkt) $S$ der Grundfläche $ABC$. Somit ist$$|SM| = \frac 13 |AM|$$Im Dreieck $\triangle SMD$ gilt$$\tan \epsilon = \frac{SD}{SM} = \frac{\frac 4{\sqrt 3}}{\frac 13 \cdot \frac 12 \sqrt 3 \cdot 6} = \frac{\frac 4{\sqrt 3}}{\sqrt 3} \\ \implies \epsilon \approx 53,1°$$D.h. der Winkel ist der aus Deiner Lösung, aber im Nenner des Bruches muss $\sqrt 3$ stehen und nicht $3\sqrt 3$.

Ist wahrscheinlich mit der Strecke $|AM|$ verwechselt worden.

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Hallo Herr Werner-Salomon,

herzlichen Dank für Ihre Lösung, aber die Lehrerin behauptet, dass die Lösung im Buch richtig sei, also muss es schon 3*√3 sein. Vielleicht hilft meine Abbildung zu der Aufgabe. Vielen Dank und schöne Grüße, David

P.S.: wenn ich Ihre Erklärung richtig verstanden habe, dann entspricht die Strecke SD bei Ihrer Zeichnung dem Lot AT in meiner Zeichnung (s. Teilaufgabe 10.5) oder?

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Hallo David,

oben in Deiner Frage steht

Dem Prisma ist eine Pyramide ABCD einbeschrieben.

Solange nichts weiter zur Pyramide da steht, unterstelle ich, dass es sich um eine gerade Pyramide handelt. Das ist in Deinem Bild aber nicht der Fall. Evt. liegt Dir die Zeichnung auf einem Arbeitsblatt oder Buch vor. Ich kenne sie nicht.

In Deiner Zeichnung ist$$\tan \epsilon = \frac{|AD|}{|AM|} = \frac{\frac 4{\sqrt 3}}{3\sqrt 3} = \frac 49 \implies \epsilon \approx 23,96°$$

hier die Lösung von Teilaufgabe 10.3 und 10.4
10.3 tanα=(4/√3)/6; α=49,1°
10.4 tanε=(4/√3)/(3√3); ε=53,1°

Das ist so wie es da steht schlicht falsch. Egal wie die Pyramide aussieht. Es wäre richtig, wenn die Höhe des Prismas $4 \cdot \sqrt 3$ wäre. Du hast aber an drei unterschiedlichen Stellen der Frage$$4/\sqrt 3 = \frac 4{\sqrt 3}$$geschrieben!?

Also sind zwei Dinge zu klären:

- Ist die Pyramide gerade, bzw. wo genau ist ihre Spitze $D$?

- Wie hoch ist das Prisma?

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Vielen Dank, es fällt mir jetzt erst auf, mir ist leider bei der Schreibweise ein blöder Fehler unterlaufen, die Höhe beträgt 4•√3 und nicht 4/√3, tatsächlich an 3 verschiedenen Stellen falsch angegeben, tut mir sehr Leid...

Und die Spitze D ist in meiner Abbildung richtig, das Bild sieht genauso in den Lösungen aus.

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Jetzt willst Du aber sicher immer noch wissen

... wie komme ich auf 3√3

Dieser Wert ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit der Kantenlänge 6. Also die Strecke $AM$ in Deiner Skizze.

Ansicht des Prismas von oben:

Das Dreieck $\triangle MCA$ ist rechtwinklig und nach Pythagoras ist$$|AC|^2 = |AM|^2 + |MC|^2 \\ \begin{aligned}\implies |AM| &= \sqrt{|AC|^2 - |AM|^2} \\&= \sqrt{6^2-3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt 3\end{aligned}$$

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UOh nein, das ist doch so einfach, weiß ich nicht warum ich selber nicht drauf gekommen bin...aber vielen herzlichen Dank Herr Werner-Salomon!

P.S.: ich würde jetzt gerne Ihre Antwort als „beste Antwort“ auswählen, aber irgendwie ist es nicht möglich, oder wissen Sie vielleicht woran das liegt?

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Ich weiß jetzt, was das Problem ist, Sie haben Ihre Antworten als Kommentar und nicht als „Antwort“ auf die Frage geschrieben, daher geht es leider nicht.