Ich schreibe die Aufgabe noch einmal ruhig in richtiger Notation auf:
a1= 1, \(a_{n+1}\)=\( \frac{2}{3} \)an +1
Und jetzt die Umformung:
\(a_{n+1}\) = \( \frac{2}{3} \)an + 1 < \(\frac{2}{3}an_{n+1}\) + 1
< = > \( \frac{1}{3} \) \(a_{n+1}\) < 1
Und ich verstehe halt nicht, wie man auf den letzten Term bei der Äquivalenzumwandlung kommt.
Mein Ansatz wär alles bis auf die 1 nach links ziehen und dann einsetzen wie Du
< = > \( \frac{2}{3} \)an + 1 - \(\frac{2}{3}an_{n+1}\) < 1
< = > \( \frac{2}{3} \)(an - \(a_{n+1}\)) + 1 < 1
Eingesetzt
< = > \( \frac{2}{3} \)(an - \( \frac{2}{3} \)an +1) + 1 < 1
Wenn ich das aber ausrechne kommt da nie und nimmer
\( \frac{1}{3} \) \(a_{n+1}\) < 1 raus.
Also was mache ich falsch ?