Berechnung eines Bruchs mit einer Folge

Question

Man soll zeigen, dass die Folge (an) mit a1= 1 und an+1= \( \frac{2}{3} \)an  +1 für n∈N konvergiert.

Das wird per Induktion bewiesen und verstehe ich auch soweit, weshalb ich das mal überfliege.

Ich verstehe nur eine Rechnung gegen Ende nicht. Die Folge ist monoton wachsend (wurde bewiesen), also gilt

\(a_{n+1}= \frac{2}{3}a_{n}+1\lt\frac{2}{3}a_{n+1}+1\) woraus \(\frac{1}{3}a_{n+1}\lt 1\) folgt.

Wenn ich jetzt aber den Bruch auf die andere Seite subtrahiere, hat man ja \(\frac{2}{3}a_{n}+1-\frac{2}{3}a_{n+1}\lt 1\), wie kommt man jetzt auf \( \frac{1}{3} \) ?

Answer 1

Hallo,

also bis hier ist Deine Welt in Ordung$$a_{n+1}= \frac{2}{3}a_{n}+1\lt\frac{2}{3}a_{n+1}+1$$links steht ein Gleichheitszeichen, d.h. was links und rechts davon steht ist gleich$$\underbrace{\frac{2}{3}a_{n}+1}_{=a_{n+1}}\lt\frac{2}{3}a_{n+1}+1$$das setzt man nun dafür ein:$$a_{n+1}\lt\frac{2}{3}a_{n+1}+1$$nun auf beiden Seiten \(\frac 23 a_{n+1}\) abziehen:$$\begin{aligned}a_{n+1} - \frac 23 a_{n+1}&\lt\frac{2}{3}a_{n+1}+1 - \frac 23 a_{n+1 } \\ \frac 13 a_{n+1} &\lt 1\\ \implies a_{n+1} &\lt 3\end{aligned}$$

Comments

Riesen -, Riesendank ! Ganz ehrlich ! Jetzt ist endlich der Groschen gefallen !

Answer 2

streng monoton wachsen heißt doch

a_n+1 > a_n

Rekursion einsetzen gibt

(2/3)a_n + 1 > a_n    | - (2/3)a_n

            1 > (1/3)a_n

<=>     3 > a_n

Comments

Das Problem ist, dass bei mir in "n" n+1 steht, also wenn man es auf eine Seite bringt hat man  \( \frac{2}{3} \)an  +1 - \( \frac{2}{3} \)an+1 < 1 es steht links also nur einmal 1 da und nicht zweimal, die andere 1 gehört zu n, ist also ein Folgeglied. Ich habe daran gedacht 1 mit \( \frac{2}{3} \)an zu multiplizieren dann rechne man die 2 Folgen zusammen \( \frac{2}{3} \)an + \( \frac{2}{3} \)an und dann hat man ja \( \frac{4}{3} \)an aber dann steht da \( \frac{4}{3} \)an - \( \frac{2}{3} \)an+1 < 1 und ich versteh nicht wie man hier auf  \( \frac{1}{3} \) kommt, zumal darf man überhaupt an mit seinem Folgeglied an+1 überhaupt addieren/subtrahieren ?

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Es ist doch a_n+1 = (2/3)a_n + 1 . Da kannst du doch

passend einsetzen.

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Wenn ich das einsetze, kommt kompletter Käse raus.

2/3an + 1 - 2/3an+1 < 1

Setze jetzt für an an+1= 2/3an + 1 ein

=> 2/3an + 1 - 2/3*(2/3an + 1) < 1

= 2/3an + 1 - 4/9an - 2/3 < 1was aber ausgerechnet ungleich 1/3an+1 < 1 ist.

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Dein Ansatz ist mir nicht ganz klar, soll das

$$a_{n+1}-a_n$$  sein?

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Ja, genau ! Es handelt sich um den Index einer Folge ! Tut mir leid, aber ich bin noch relativ neu hier und habe so meine Schwierigkeiten mit der Notation.

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Na dann ist doch alles klar:

$$a_{n+1}-a_n$$  

$$=\frac{2}{3}a_{n}+1-a_n$$ 

$$=(\frac{2}{3}-1)a_{n}+1$$

$$=-\frac{1}{3}a_{n}+1$$

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Ich schreibe die Aufgabe noch einmal ruhig in richtiger Notation auf:

a1= 1, \(a_{n+1}\)=\( \frac{2}{3} \)an +1

Und jetzt die Umformung:

\(a_{n+1}\) =  \( \frac{2}{3} \)an + 1 < \(\frac{2}{3}an_{n+1}\) + 1

               < = > \( \frac{1}{3} \) \(a_{n+1}\) < 1 

Und ich verstehe halt nicht, wie man auf den letzten Term bei der Äquivalenzumwandlung kommt.

Mein Ansatz wär alles bis auf die 1 nach links ziehen und dann einsetzen wie Du

< = > \( \frac{2}{3} \)an + 1 - \(\frac{2}{3}an_{n+1}\) < 1

< = > \( \frac{2}{3} \)(an - \(a_{n+1}\)) + 1 < 1

Eingesetzt

< = > \( \frac{2}{3} \)(an - \( \frac{2}{3} \)an +1) + 1 < 1

Wenn ich das aber ausrechne kommt da nie und nimmer

\( \frac{1}{3} \) \(a_{n+1}\) < 1 raus.

Also was mache ich falsch ?

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.. und habe so meine Schwierigkeiten mit der Notation.

aber Klammern setzen kannst Du doch. So kann man dann z.B. a_n + 1 von a_(n+1) unterscheiden.