Entscheiden, ob die Gleichung eine Lösung hat (x^2-1)e^x + x^2 e^{-2x} + sin(x) + 1=0

Question

Wie zeige ich, dass

$$\left( x^{ 2 }-1 \right) { e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ -2x }+\sin { x } =-1$$

eine Lösung hat? Als Tipp wurde uns gegeben, dass wir es mal mit Stetigkeit versuchen sollen.

Answer 1

$$\left( x^{ 2 }-1 \right) { e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ -2x }+\sin { x } =-1$$

$$\left( x^{ 2 }-1 \right) { e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ -2x }+\sin { x } +1=0$$

Die Behauptung ist nun: f(x) hat eine/keine Nullstelle.

$$f(x):=\left( x^{ 2 }-1 \right) { e }^{ x }+{ x }^{ 2 }{ e }^{ -2x }+\sin { x } +1$$

Da f(x) stetig ist, existiert eine Nullstelle, wenn du x1 und x2 angaben kannst so dass

f(x1) > 0 und f(x2)<0.

Dass man x1 findet ist eigentlich klar, da sin(x) nicht unter -1 kommen kann und (x^2-1) nur für -1<x<1 überhaupt neg. werden kann. x^2 e^{-2x} ist immer positiv. Nimm für x1 z.B. x1=10. f(10) ist sicher grösser als 0. 

x2 muss man probieren.

Ich habe dabei sogar bereits eine Nullstelle und somit eine Lösung der Gleichung:

f(0)= -e^0 + 0 +0 +1= -1 +1=0

x=0 ist eine Lösung der Gleichung. Somit besitzt die Gleichung eine Lösung.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2+-+1%29e%5Ex+%2B+x%5E2+e%5E%28-2x%29+%2B+sin%28+x%29+%2B+1+