Begründen das fur jede ganzrationale Funktion f gilt

Question

Aufgabe:

Begründen Sie, dass für jede ganzrationale Funktion f gilt:

a) Ist f vom Grad zwei, so hat f genau eine Extremstelle.

b) Ist der Grad von f gerade, so hat f mindestens eine Extremstelle.

c) Wenn f drei verschiedene Extremstellen hat, so ist der Grad von f mindestens vier.

d) Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n - 1 Extremstellen.

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht so ganz was ich von einem genau verlangt wird. :(

Answer 1

a) Ist f vom Grad zwei, so hat f genau eine Extremstelle.

denn die Ableitung ist dann eine lineare Funktion mit Steigung ≠ 0,

hat also genau eine Nullstelle.

b) Ist der Grad von f gerade, so hat f mindestens eine Extremstelle.

weil die Ableitung ungeraden Grad hat, also mindestens eine Nullstelle hat.

c) Wenn f drei verschiedene Extremstellen hat, so ist der Grad von f mindestens vier.

Ableitung hat drei Nullstellen, also mindestens Grad 3 und somit

Funktion mindestens 4

d) Eine ganzrationale Funktion f vom Grad n hat höchstens n - 1 Extremstellen.

weil Ableitung Grad n-1 hat.