Aloha :)
Wir führen zunächst Teil b) durch, weil wir dadurch Teil a) zugleich erledigen. Wir rechnen die linearen Abhängigkeiten durch elementare Spaltenumformungen aus den beiden Vektoren heraus:$$\begin{array}{rr} & -2S_1\\\hline 3 & 6\\4 & -2\\3 & 6\end{array}\to\begin{array}{rr} & :(-10)\\\hline 3 & 0\\4 & -10\\3 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr}-4S_1 & \\\hline 3 & 0\\4 & 1\\3 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr}:\,3 & \\\hline 3 & 0\\0 & 1\\3 & 0\end{array}\to\begin{array}{rr}\vec a' & \vec b'\\\hline 1 & 0\\0 & 1\\1 & 0\end{array}$$
Damit haben wir die gewünschte Basis gefunden:$$\vec a'=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad\vec b'=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$
Damit ist auch Teil a) erledigt, denn für alle Vektoren \(vec x\) der linearen Hülle bzw. der Basis gilt:
$$\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s\\t\\s\end{pmatrix}$$Es ist also \(x_1=x_2\in\mathbb R\) und \(x_2\in\mathbb R\) beliebig.
